河北省邯郸市峰峰春华中学高二数学理联考试题含解析

河北省邯郸市峰峰春华中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（　　） A． B． r C． r D．r 参考答案： D 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；扇形面积公式． 【分析】假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值． 【解答】解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S， ∵h=， ∴S=（r+x）?， S′=， 令S′=0，得x=，（x=﹣r舍）， 则h=r． 当x∈（0，）时，S′＞0；当x∈（，r）时，S′＜0． ∴当x=时，S取极大值． ∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大． 故选：D 2. 已知集合，，，则 A.                                               B. C.                                                       D. 参考答案： C 3. 下列命题中的假命题是（   ） A．，                     B. ， C．，                      D. ， 参考答案： 对选项B，当时不成立，选B. 4. 已知,则等于(    ) A.         B.           C.              D. 参考答案： A 5. 以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（     ） A． i>10         B． i<10          C． i<20          D． I>20 参考答案： A 6. 如下分组正整数对:第1组为第2组为第3组为第4组为依此规律,则第30组的第20个数对是(   ) A. (12,20) B. (20,10) C. (21,11) D. (20,12) 参考答案： C 【分析】 本题首先可根据题意找出每一组以及每一个数对所对应的规律，要注意区分偶数组与奇数组的不同，然后根据规律即可得出第组的第个数对。 【详解】由题意可知，规律为： 第组为， 第组为， 故第30组的第20个数对是，故选C。 【点睛】本题考查如何通过题目所给出的条件以及信息寻找规律，能否通过题目所给出的条件找出每一组中的每一个数对之间的规律以及每一组数对之间的规律是解决本体的关键，考查推理能力，是中档题。 7. 复数(1－)(1＋i)＝ （A）－2 （B）2 （C）－2i （D）2i 参考答案： D 略 8. 在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（  ） A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 参考答案： C 9. 若是z的共轭复数，且满足，则z=（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据复数运算，先求得，再求其共轭复数，则问题得解. 【详解】由题知,则． 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题. 10. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（    ） A、总体是240                 B  个体是每一个学生 C、样本是40名学生            D  样本容量是40 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若双曲线的两条渐进线的夹角为，则该双曲线的离心率为________. 参考答案： 略 12. 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为　   　． 参考答案： 4 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（2，1）， 化目标函数z=x+2y为y=﹣， 由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4． 故答案为：4． 13. 已知x、y的取值如表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=　　． 参考答案： 2.6 【考点】线性回归方程． 【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a． 【解答】解：根据表中数据得：； 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95； ∴． 故答案为：2.6． 【点评】考查线性相关的概念，回归方程中直线的斜率和截距的计算公式，以及变量的算术平均值的计算． 14. 已知圆C：x2﹣2ax+y2=0（a＞0）与直线l：x﹣y+3=0相切，则a=           ． 参考答案： 3 【考点】圆的切线方程． 【专题】直线与圆． 【分析】联立方程消去x由△=0解关于a的方程可得a值． 【解答】解：∵圆C：x2﹣2ax+y2=0（a＞0）与直线l：x﹣y+3=0相切， ∴联立方程消去x可得4y2﹣2（a+3）y+6a+9=0， 由△=（2）2（a+3）2﹣4×4×（6a+9）=0可得a=3或a=﹣1（舍去） 故答案为：3． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及一元二次方程根的个数问题，属中档题． 15. 在中，角所对的边分别为且. （1）求角； （2）已知，求的值. 参考答案： 解:（1） 在中，                              ..........................................4分 ................................................6分 （2）由余弦定理..................................8分 又 则......................10分 解得：....................................................12分   略 16. 已知 若不等式恒成立，则的最大值为______. 参考答案： 16 17. 已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的递增等比数列，则＝_______. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）如图，储油灌的表面积为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径． ⑴试用半径表示出储油灌的容积，并写出的范围． ⑵当圆柱高与半径的比为多少时，储油灌的容积最大？ 参考答案： ⑴，，             ……3分 ；                           ……7分 ⑵，令，得，列表 ↗ 极大值即最大值 ↘             ……11分 ∴当时，体积取得最大值，此时，.    ……13分 答：储油灌容积，当时容积取得最大值. …15分 19. （本小题满分12分） 若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长． 参考答案： 解：由得，                             ………2分 又 ，                                  ……… 4分 由得,            ……… 8分 ．                 …………10分 20. 设（x+2）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n≥2），且a0，a1，a2成等差数列． （1）求（x+2）n展开式的中间项； （2）求（x+2）n展开式所有含x奇次幂的系数和． 参考答案： 【考点】二项式系数的性质；二项式定理的应用． 【分析】（1）利用通项公式及其a0，a1，a2成等差数列．可得n．进而得出． （2）在中，分别令令x=1，x=﹣1，即可得出． 【解答】解：（1），∴， ∵a0，a1，a2成等差数列，∴ 解得：n=8或n=1（舍去） ∴（x+2）n展开式的中间项是． （2）在中， 令x=1，则38=a0+a1+a2+a3+…+a7+a8 令x=﹣1，则1=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7+a8 两式相减得： ∴． 21. 已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P． （Ⅰ） 求动点P的轨迹W的方程； （Ⅱ） 设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k； （Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（I）由QC2的垂直平分线交QC1于P，知|PQ|=|PC2|，动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．由此能够求出椭圆的标准方程． （Ⅱ）设M（a1，b1），N（a2，b2），则a12+2b12=2，a22+2b22=2．由，a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，由此能求出直线MN的斜率． （Ⅲ）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得 ，整理得（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，，由此能够求出D点坐标． 【解答】解（1）∵QC2的垂直平分线交QC1于P， ∴|PQ|=|PC2|， |PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2＞|C1C2|=2， ∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆． 设这个椭圆的标准方程是， ∵2a=2，2c=2，∴b2=1， ∴椭圆的标准方程是． （Ⅱ）设M（a1，b1），N（a2，b2）， 则a12+2b12=2，a22+2b22=2． ∵， 则a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0， ∴，， ∴直线MN的斜率为． （Ⅲ）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得 ，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0， 由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ， 假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点， 则 ， ， ∵， ∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2 =（k2+1）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2++， =﹣ ==0． ∴，∴m=1， 所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化． 22. （本小题满分10分）已知函数的图像在处的切线与直线y=6x+3平行。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）