河北省邢台市县路罗中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设为坐标原点,点,是正半轴上一点,则中的最大值为().
A. B. C. D.
参考答案:
见解析
,
,
,
∴,
由得,
∴当时,
为最大值:选.
2. 已知向量,若,则的最小值为( )
A. 12 B. C. 15 D.
参考答案:
B
【分析】
因为,所以对向量坐标运算,得到,根据=可构造出基本不等式的形式,利用基本不等式求出结果.
【详解】共线,,即,
所以=,当且仅当时等号成立.
【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算,均值定理求最小值,考查数学的转化能力,属于基础题.
3. (3分)下列函数中,图象的一部分如图所示的是()
A. y=sin(x+) B. y=sin(2x﹣) C. y=cos(4x﹣) D. y=cos(2x﹣)
参考答案:
D
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 根据题意,设出y=sin(ωx+α),利用函数图象求出ω与α,得出函数解析式,从而选出正确的答案.
解答: 根据题意,设y=sin(ωx+α),α∈(﹣,);
∴=﹣(﹣)=,
解得T=π,
∴ω==2;
又x=时,y=sin(2×+α)=1,
∴+α=,
解得α=;
∴y=sin(2x+),
即y=cos=cos(﹣2x)=cos(2x﹣).
故选:D.
点评: 本题考查了利用函数的图象求三角函数解析式的问题,是基础题目.
4. 已知函数f(x)为偶函数,且对于任意的,都有,设,,则()
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
首先判断函数在的单调性,然后根据偶函数化简,然后比较2,,的大小,比较的大小关系.
【详解】若,则函数在是单调递增函数,
并且函数是偶函数满足,
即,
,
在单调递增,
,
即.
故选C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小,意在考查函数性质的应用,意在考查转化和变形能力,属于基础题型.
5. (5分)函数y=x2﹣4ax+1在区间[﹣2,4]上单调递增函数,则实数a的取值范围是()
A. (﹣∞,2] B. (﹣∞,﹣1] C. [2,+∞) D. [﹣1,+∞)
参考答案:
B
考点: 二次函数的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据二次函数y=x2﹣4ax+1的图象与性质,结合题意,得出不等式2a≤﹣2,求出解集即可.
解答: ∵函数y=x2﹣4ax+1的图象是抛物线,且开口向上,对称轴是x=2a;
在对称轴的右侧,函数是单调增函数;
∴函数y在区间[﹣2,4]上是单调递增函数时,
2a≤﹣2,
解得a≤﹣1;
∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1].
故选:B.
点评: 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
6. 若ax2+bx+c>0的解集为(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞),则对f(x)=ax2+bx+c,有( )
A.f(5)<f(2)<f(﹣1) B.f(2)<f(5)<f(﹣1) C.f(﹣1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(﹣1)<f(5)
参考答案:
D
【考点】75:一元二次不等式的应用.
【分析】由已知,可知﹣2,4是ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系,得出,化函数f(x)=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a(x2﹣2x﹣8),利用二次函数图象与性质求解.
【解答】解:ax2+bx+c>0的解集为(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞),可知﹣2,4是ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系,所以且a>0,
所以,函数f(x)=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a(x2﹣2x﹣8),抛物线对称轴为x=1,开口向上,
所以f(2)<f(﹣1)<f(5)
故选D.
【点评】本题为一元二次不等式的解集的求解,结合对应二次函数的图象是解决问题的关键,属基础题.
7. 设全集,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 在样本的频率分布直方图中,共有8个小长方形,若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的,且样本容量为200,则第8组的频数为( )
A.40 B.0.2 C.50 D.0.25
参考答案:
C
略
9. 函数的单调递增区间是
A.(-∞,2) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
A
,得到,且在上递减,而在(0,+∞)上递减,由复合函数单调性同增异减法则,得到在上递增,选A
10. 已知是从到的映射,若1和8的原象分别是3和10,则5在下的象是( )
.3 .4 .5 .6
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 满足不等式中x的集合是 .
参考答案:
12. 已知,则 。
参考答案:
3
13. 设A={x|∈N+,x∈Z},则A=________.
参考答案:
{-1,2,3,4}
14. 设函数,则
参考答案:
15. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,求= .
参考答案:
16. 下列说法中:
①若,满足,则的最大值为4;
②若,则函数的最小值为3
③若,满足,则的最小值为2
④函数的最小值为9
正确的有__________.(把你认为正确的序号全部写上)
参考答案:
③④
【分析】
①令,得出,再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误;
②将函数解析式变形为,利用基本不等式判断该命题的正误;
③由得出,得出,利用基本不等式可判断该命题的正误;
④将代数式与代数式相乘,展开后利用基本不等式可求出
的最小值,进而判断出该命题的正误。
【详解】①由得,则,则,
设,则,则,则上减函数,则上为增函数,
则时,取得最小值,当时,,故的最大值为,错误;
②若,则函数,
则,
即函数的最大值为,无最小值,故错误;
③若,满足,则,则,
由,得,
则
,
当且仅当,即得,即时取等号,
即的最小值为,故③正确;
④
,
当且仅当,即,即时,取等号,
即函数的最小值为,故④正确,故答案为:③④。
【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误,利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件,同时注意结合双勾函数单调性来考查,属于中等题。
17. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下5个命题:
①与垂直;
②与平行;
③与是异面直线;
④与成角;
⑤异面直线。
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
设全集为实数集合,集合, .
(1)当时,求CR;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
19. 解下列不等式:
(1)
(2)
参考答案:
(1)解:先将最高次项系数变为正数:
方程的根为
不等式的解集为 ……………5分
(2)不等式等价于
解得: 不等式的解集为 ……………10分
20. 已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
参考答案:
解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则,所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则,所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上知,切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0;
(2)因为|PO|2+r2=|PC|2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,
此时P点即为两直线的交点,得P点坐标.
略
21. 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
参考答案:
见解析
试题分析:先求对应的一元二次方程的根,再根据两根大小关系分类讨论对应解的情况
试题解析:原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.
(1)当a>0时,x1>x2,
不等式的解集为{x|-a
0时,{x|-a
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