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河北省秦皇岛市禹铭艺术中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图,输出的S的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】循环结构.
【专题】算法和程序框图.
【分析】根据判断框的条件是k<27确定退出循环体的k值为27,再根据框图的流程确定算法的功能,利用约分消项法求解.
【解答】解:由判断框的条件是k<27,∴退出循环体的k值为27,
∴输出的S=1??…==log327=3.
故选:C.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.
2. 某几何体的三视图如右上图所示,它的体积为( )
(A). (B). (C). (D).
参考答案:
C
3. 设集合,为自然数集,则中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
考点:集合的运算.
4. 已知等差数列的前项和为,若且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 若曲线和上分别存在点A和点B,使得是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
设,
则,
又由,
由题意,所以,
所以,
因为,所以,所以,
令,则,设,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以函数的最小值为,又因为,
所以实数的取值范围是,故选A.
6. 已知函数,(R),对于任意的,,,下面对的值有如下几个结论,其中正确的( )
A. 零 B.负数
C.正数 D.非以上答案
参考答案:
B
略
7. 已知函数为定义在上的奇函数,当时,,则当
时,的表达式为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
8. 设函数的最小正周期为,且,则 ( )
A.在单调递减 B.在单调递减
C.在单调递增 D.在单调递增
参考答案:
A
略
9. 以下说法错误的是
A.命题“若”,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则”
B.“x=1”是“”的充分不必要条件
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.若命题p:?∈R,++1<0,则﹁p:?x∈R,≥0
参考答案:
C
略
10. 复数的实部是( )
A.
﹣i
B.
﹣1
C.
1
D.
i
参考答案:
C
考点:
复数的基本概念..
专题:
计算题.
分析:
利用复数的运算法则和实部意义即可得出.
解答:
解:∵=﹣i+1,
∴实部为1.
故选C.
点评:
熟练掌握复数的运算法则和实部的意义是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin2x的图像向右平移(0<<)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则= ▲ .
参考答案:
12. 函数若方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
13. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根,则的最大值是______.
参考答案:
【分析】
不妨设 ,则,令,可得,利用导数研究函数的单调性,根据单调性可得结果.
【详解】
作出函数图象如图所示,
由,可得, 即,
不妨设 ,则,
令,则,
,令,则,
当 时,,在上递增;
当时,,在上递减;
当时,取得最大值,
故答案为.
【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系,考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值,属于难题.求函数极值与最值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4)判断在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
14. 若,则的最小值为______.
参考答案:
【详解】 .
当且仅当即时等号成立.
15. 一块边长为的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形容器,为底面的中心,则侧棱与底面所成角的余弦值为 .
参考答案:
16. 若实数x,y满足,则的最小值是_________________
参考答案:
17. 若函数的反函数为,则 。
参考答案:
本题考查反函数与原函数之间的关系及应用.令,则,即,解得,即.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F.
(1)求证:A1C⊥平面BDE;
(2)求三棱锥C﹣BDE的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】(1)先证明:BD⊥A1C,BE⊥A1C,再证明A1C⊥平面BDE;
(2)利用VC﹣BDE=VE﹣BDC,求三棱锥C﹣BDE的体积.
【解答】(1)证明:因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面A1AC,
所以BD⊥A1C;
又因为BE⊥B1C,BE⊥A1B1,B1C∩A1B1=B1,
所以BE⊥平面A1B1C,
所以BE⊥A1C;
因为BD∩BE=B
所以A1C⊥平面BDE.
(2)解:由题意CE=1,
所以VC﹣BDE=VE﹣BDC==(14分)
【点评】本题考查线面垂直,考查三棱锥C﹣BDE的体积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
19. (本小题满分12分)已知等比数列满足
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和Sn.
参考答案:
. ……………12分
20. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布,方案要求以学校为单位进行体育测试,某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试,并对50分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若90~100分数段的人数为2人.
(Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数M;
(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20,则称这两人为“帮扶组”,试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ) 由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1,60~70分的频率为0.25,
70~80分的频率为0.45,80~90分的频率为0.15,90~100分的频率为0.05;…………………………………………………………………… 2分
∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)
…………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ∵90~100分数段的人数为2人,频率为0.05;
∴参加测试的总人数为 =40人,…………………………………… 5分
∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人,………………………………… 6分
设第一组50~60分数段的同学为A1,A2,A3,A4;第五组90~100分数段的同学为B1,B2…………………………………………………………………… 7分
则从中选出两人的选法有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种;……
…………………………………………………………………………………9分
其中两人成绩差大于20的选法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种……………………………………… 11分
则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=……………………………… 12分
略
21. 工厂生产某种产品,次品率与日产量(万件)间的关系
(为常数,且),已知每生产一件合格产品盈利3元,每出现一件次品亏损1.5元
(1)将日盈利额(万元)表示为日产量(万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注: )
参考答案:
(1)当时,, …………2分
当时,
……………4分
∴日盈利额(万元)与日产量(万件)的函数关系式为
……………………………………5分
(2)当时,日盈利额为0
当时,
令得或(舍去)
∴当时, ∴在上单增
∴最大值 ………………………………9分
当时,在上单增,在上单减
∴最大值 ……………………………………10分
综上:当时,日产量为万件日盈利额最大
当时,日产量为3万件时日盈利额最大
略
22. 已知函数.
(Ⅰ)求的值域和最小正周期;
(Ⅱ)设,且,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ), …………4分
…………6分
的值域为, 最小正周期为 .……8分
(Ⅱ),即: …………9分
即:
∵, …………11分
, …………13分
略
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