河北省秦皇岛市第四中学2022年高三数学文期末试卷含解析

河北省秦皇岛市第四中学2022年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是(  ) A．0     B．或2  C．2    D．0或2 参考答案： D 若；若，所以输入的值是0或2。 2. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为   A．   B．   C．   D． 参考答案： A 3. 中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（   ） 参考答案： C 4. 已知，那么=（        ） A．          B．         C．        D． 参考答案： B 略 5. 定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为                                       (    )    A．  0             B.  6            C.  12             D.  18 参考答案： D 略 6. 函数的图象按向量平移到，的函数解析式为 当为奇函数时，向量可以等于        A、           B、              C、              D、 参考答案： D 7. 函数的图象大致为 参考答案： D 8. 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象经过区域D，则a的取值范围是（    ） A．          B．          C．          D． 参考答案： A 9. 命题的否定是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并否定结论，所以应选A. 考点：特称命题与全称命题. 10. 设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是 （    ） A．    B．   C．     D． 参考答案： D 作出函数的图像，又易知过定点（-1,0）.由图可知，当直线介于直线与直线之间时，其与函数y=的图象恰有三个不同的交点.易知，，由于两点都不在函数y=的图象上，所以直线可与直线重合，但不得与直线重合，即.故选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为____________________． 　　　　　　 　　　　　　 　　 参考答案： 15 略 12. 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程 (t为参数)所表示的图形分别是________． 参考答案： 圆、直线 13. 若变量，满足约束条件，则的最小值为              ． 参考答案： 14. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）        A．（不等式选做题）不等式| x－5| +|x+3|≥10的解集是____           。        参考答案： 略 15. 设、为实数，且，则=                    。 参考答案： 4 16. 设表示离最近的整数，即若，则=.下列关于函数的四个命题中正确的是               。 ①函数的定义域是R，值域是； ②函数的图像关于直线对称； ③函数是周期函数，最小正周期是1； ④函数是偶函数。 参考答案： ①②③ 17. 已知为锐角，，则  ▲  ． 参考答案： 由，为锐角，可得，则， 所以 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）求不等式的解集； （2）已知关于x的不等式的解集为M，若，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（1）因为，所以， ， 或或 解得或或， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以当时，恒成立， 而， 因为，所以，即， 由题意，知对于恒成立， 所以，故实数的取值范围.   19. （本小题满分12分） 某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间（单位：分钟），将600人随机编号为001，002，…，600，抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在［0，10），第二组上学所需时间在[10，20）…，第六组上学所需时间在［50，60］，得到各组人数的频率分布直方图，如下图 （1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为006，则第五个抽取的号码是多少？ （2）若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a、b，求满足的事件的概率； （3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？   参考答案： （1）600÷50=12，第一段的号码为006， 第五段抽取的数是6＋（5－1）×12=54，即第五段抽取的号码是054 （2）第四组人数=0.008×10×50=4，设这4人分别为A、B、C、D， 第六组人数=0.004×10×50=2，设这2人分别为, 随机抽取2人的可能情况是： AB   AC   AD  BC  CD  xy  Ax  Ay  Bx  By  Cx  Cy  Dx  Dy 一共15种情况，其中他们上学所需时间满足的情况有8种， 所以满足的事件的概率， （3）全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有： 600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人， 所以估计全校需要3辆校车.   20. 已知抛物线C：y=x2．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P． （Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|； （Ⅱ）求△PAB面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，求出方程的根，即可求|AB|； （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，可得x2﹣x﹣1=0， 解得，x1=，x2=． 所以|AB|=|﹣|=．       …（6分） （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，设点A（x1，y1），B（x2，y2）． 由y=k（x﹣1）+2代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0， 于是x1+x2=k，x1x2=k﹣2， 又因为y′=（x2）′=2x， 所以，抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为：y=2x1x﹣x12，y=2x2x﹣x22． 得两切线的交点P（，k﹣2）． 所以点P到直线l的距离为d=． 又因为|AB|=?|x1﹣x2|=?． 设△PAB的面积为S，所以S=|AB|?d=≥2（当k=2时取到等号）． 所以△PAB面积的最小值为2．                              …（14分） 【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力． 21. 已知椭圆的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点． （1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+b联立，整理得（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0，由kFA+kFB=0，可得 b与k的关系，即可； （2）由（1）得=（x1+1）（x2+1）+（kx1+b）（kx2+b） 由=0及△求出b的范围．又d===即可求解， 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+b 联立，整理得（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0 ，△=8（2k2+1﹣b2）＞0…①， kFA+kFB=． ∴（kx2+b）（x1+1）+（kx1+b）（x2+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×=0 ∴b=2k，直线AB的方程为：y=kx+2k， 则动直线l一定经过一定点（﹣2，0）． （2）由（1）得=（x1+1）（x2+1）+（kx1+b）（kx2+b） = =（k2+1）×． ∴代入①得①恒成立． 又d===， ∴d的取值范围（0，）． 22. 已知函数f（x）=x2+lnx． （1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值； （2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值； （2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值． 【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+， ∵x＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在[1，e]上是增函数， ∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2； （2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx， 则F′（x）=x﹣2x2+===， ∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数， ∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x）， ∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方． 【点评】本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．