河北省秦皇岛市刘家营乡中学2022年高二数学理期末试题含解析

河北省秦皇岛市刘家营乡中学2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值为（    ） A.－4　　　 B.4　　 C.2　　　 D.－2 参考答案： D 略 2. △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（　　） A．3 B． C． D． 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案． 【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB， ∴根据正弦定理，得 解之得a= 故选：D 3. （5分）（2015春?石家庄校级期末）已知数列{an}满足a2=102，an+1﹣an=4n，（n∈N*），则数列的最小值是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 参考答案： B 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】利用累加法可求得an，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形． 【解答】解：由an+1﹣an=4n得， a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，an﹣an﹣1=4（n﹣1）， 以上各式相加得，an﹣a2=，所以an=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2）， 而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式， 故an=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*）， =﹣2=26， 当且仅当即n=7时取等号， 所以数列的最小值是26， 故选B． 【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力． 4. 设a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（　　） A．0 B．1 C．11 D．12 参考答案： D 【考点】整除的基本性质． 【分析】把 532016=（52+1）2016 按照二项式定理展开，再根据  （52+1）2016+a能被13整除，求得a的值． 【解答】解：∵a∈Z，且0＜a＜13，∵532016+a=（52+1）2016+a =?522016+?522015+…+?52+1+a 能被13整除， ∴最后2项的和能被13整除，即1+a能被13整除，故a=12， 故选：D． 5. (1-)6(1+)4的展开式中x的系数是（       ） A.-4                                       B.-3                 C.3                                    D.4 参考答案： B 6. 已知长方体，，, 是线段上一点，且，是中点，则与平面所成的角的正弦值为（  ） A．        B．       C.        D． 参考答案： C 7. 点P(2,3)到直线：的距离为最大时，与的值依次为    （    ） A．3,-3             B．5,1         C．5,2               D．7,1 参考答案： B 8. 在复平面内，复数对应的点位于（  ） A  第一象限     B  第二象限    C第三象限      D第四象限 参考答案： A 略 9. 观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为   A．3125   B．5625    C．0625 D．8125 参考答案： D 略 10. 直线，将圆面分成若干块，现有种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有种涂法，则的取值范围是（    ）                                 A.                     B.         C．　　         D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz面对称的点的坐标为 ▲ 参考答案： 12. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是      参考答案： 略 13. 在数列中，， （），则该数列的前2014项的和是     ▲     ． 参考答案： 7049 略 14. 抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为N.设，AN与MF相交于点B，若，△ABM的面积为，则p的值为          ． 参考答案： 3 15. 三棱锥A-BCD中，E是AC的中点，F在AD上，且，若三棱锥A-BEF的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为_______________． 参考答案： 10. 【分析】 以B为顶点，三棱锥与四棱锥等高，计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解. 【详解】设B到平面ACD的距离为h，三角形ACD面积为，因为是的中点，在上，且，所以,，所以，又=2，所以，，所以. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 16. 若平面向量与满足:,,则与的夹角为             ． 参考答案： 考点：平面向量的数量积的运算． 17. 已知下列命题： ①若p是q的充分不必要条件，则“非p”是“非q”的必要不充分条件； ②“已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数”的逆否命题； ③已知a，b是实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1； ④方程有唯一解得充要条件是“” 其中真命题的序号是    ▲    ． 参考答案： ①③；    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C:经过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程. 参考答案： （1）；（2）或 【分析】 （1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为； （2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， ∴，， 所以，椭圆的方程为， 将点的坐标代入椭圆的方程得， 解得，则，， 因此，椭圆的方程为. （2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而. 此时，故不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、， 将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得， ，解得或， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 所以 ，即 解得：，符合题意 因此，直线的方程为或. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力. 19. 已知a＞0，求证：﹣≥a+﹣2． 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【分析】用分析法，证明不等式成立的充分条件成立，要证原命题，只要证+2≥a++，即只要证（+2）2≥（a++）2，进而展开化简，可得只要证明：（a﹣）2≥0，易得证明， 【解答】证明：要证﹣≥a+﹣2， 只要证+2≥a++． ∵a＞0， 故只要证（+2）2≥（a++）2， 即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2， 从而只要证  2≥（a+）， 只要证4（a2+）≥2（a2+2+）， 即a2+≥2， 即：（a﹣）2≥0， 而上述不等式显然成立， 故原不等式成立． 20. 已知椭圆经过点，离心率是，动点 （1）求椭圆的标准方程；  （2）求以OM为直径且别直线截得 的弦长为2的圆的方程； （3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值. 参考答案： （1） （2） （3）方法一：设 点N在以OM为直径的圆上，所以，即： 又N在过F垂直于OM的直线上，所以，即，所以 方法二：利用平几知识：，其中K为FN与OM的交点。 计算K。证得 略 21. 已知为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）是否存在，使，，成等差数列，若存在，求出，若不存在，说明理由. 参考答案： （l）设的公差为.则∴ ∴ （2）， ， . 若存在，使，，成等差数列， 则，∴， ∴存在，使，，成等差数列. 22. 已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线的参数方程 (1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,若在曲线上有一点,使点到直线的距离最小，求出最小距离. 参考答案： 解：（Ⅰ）由得，，…………………………２分 由得，圆.………………………………………………………４分   (Ⅱ) 设点是圆C上的任意一点，经过伸缩变换得到点 由得，把代入圆得， 所以曲线 …………………………………………………………………６分 令，则点到直线的距离 ……………………………………………………………１０分 ∴当即时，，此时， ∴当时，点到直线的距离的最小值为.…………１３分   略