河北省衡水市阜城县古城中学高三数学理月考试题含解析

河北省衡水市阜城县古城中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在R上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且（的前n项和），则（    ） A．－3          B．－2             C．3                 D．2 参考答案： D ∵函数f（x）是奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x） ∵f（﹣x）=f（x）， ∴f（﹣x）=﹣f（﹣x） ∴f（3+x）=﹣f（+x）=﹣f（﹣x）=f（x） ∴f（x）是以3为周期的周期函数． ∵数列{an}满足a1=﹣1，且=2×+1， ∴a1=﹣1，且Sn=2an+n， ∴a5=﹣31，—. 故答案为：D.   2. 在等差数列中，首项公差，若， 则的值为 A．37                  B．36           C．20                 D．19   参考答案： A 略 3. 若双曲线的焦距为，一条渐近线为，且点到的距离为，则双曲线的方程为（  ） A． B．       C. D. 参考答案： C 4. 已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是                A.    B. C. D. 参考答案： A 略 5. 下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. B. C. D. 参考答案： D 略 6. 若复数z=，则z对应的点落在                        （   ） A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限    D．第四象限 参考答案： A 7. 已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，           ②函数有2个零点 ③的解集为       ④，都有 其中正确命题个数是 A．1            B．2          C．3           D．4 参考答案： B 【知识点】函数综合 解：因为①当时，可得；②函数有-1，0，1三 个零点； ③的解集为；④，都有 所以，①②均不正确，③④正确。 故答案为：B 8. 已知集合，则=（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求 【详解】，所以 . 故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 9. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则(     ) A．11         B．5       C．－11            D．－8 参考答案： C 10. 若，，则的值为…………………（　　）                         参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的 通项公式an =______________。 参考答案： 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 12. 已知极坐标方程为q=(r∈R)的直线与参数方程为(q为参数，q∈R)的曲线的交点为P，则点P的直角坐标为____________. 参考答案： 或 13. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有五种颜色可选，则不同的染色方法有        种. 参考答案： 420 14. 不等式的解集为            ． 参考答案： 由x2-5x+6≤0，得，从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为. 15. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是      ． 参考答案： [kπ﹣，kπ+]，k∈Z 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的单调性得出结论． 【解答】解：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到的图象， 再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到g（x）=2sin[2（x+）﹣]﹣1=2sin2x﹣1的图象． 令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得它的增区间是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于基础题． 16. 已知a=3，b=log2，c=log35，则a，b，c的大小关系为　　． 参考答案： c＞b＞a 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由于0＜a=3＜1，b=log2＜0，c=log35＞1，即可得出． 【解答】解：∵0＜a=3＜1，b=log2＜0，c=log35＞1， ∴c＞b＞a． 故答案为：c＞b＞a． 【点评】本题考查了指数幂与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 二项式展开式中含项的系数是_____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)   设函数，其中向量，。   (1)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；   (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解析：（1）∵……2分 ∴函数的最小正周期T=。……………………………………4分 在上单调递增区间为，。…………………………6分 （2）当时，∵递增，∴当时，， 当x=0时，，………………………………………………8分 由题设知…………………………………………………………10分 解之，得………………………………………………………………12分 19. （12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC． （Ⅰ）求证：PC⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【专题】： 空间位置关系与距离；空间角． 【分析】： （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥平面ABC； （Ⅱ）建立坐标系，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值． 证明：（Ⅰ）取AB的中点D，连结PD，CD． ∵AP=BP，∴PD⊥AB． ∵AC=BC，∴CD⊥AB． ∵PD∩CD=D， ∴AB⊥平面PCD．﹣﹣﹣﹣（3分） ∵PC?平面PCD， ∴PC⊥AB， 又∵PC⊥AC， ∴PC⊥平面ABC﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz． 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）． 设P（0，0，t）．﹣﹣﹣（8分） ∵|PB|=|AB|=2， ∴t=2，P（0，0，2）．﹣﹣﹣﹣（9分） 取AP中点E，连结BE，CE． ∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|， ∴CE⊥AP，BE⊥AP． ∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角． ∵E（0，1，1），，， ∴cos=． ∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为． 【点评】： 本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间角的常用方法． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM． （1）求证：AD⊥BM； （2）求点C到平面BDM的距离． 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）取AM中点O，连结DO，可得DO⊥BM，AM⊥BM，MB⊥平面ADM，即可得BM⊥AD； （2），记点C到平面BDM的距离为h，VC﹣BDM═，又VD-BCM=VC-BDM，即可得点C到平面BDM的距离． 【详解】（1）取AM中点O，连结DO， 因为平面ADM⊥平面ABCM，AD=DM， 所以OD⊥平面ABCM，DO⊥BM， 易知AM⊥BM， 所以MB⊥平面ADM， 所以BM⊥AD； （2）∵在矩形ADCB中，AB=2BC=2，点M为DC的中点， ∴DM=CM=，BM=AM==，DO=， 由（1）知MB⊥平面ADM，DM?平面ADM， ∴BM⊥DM，S△BDM=．， 又∵DO⊥平面ABCM， ∴×=．， 记点C到平面BDM的距离为h， ∴VC-BDM═， 又∵VD-BCM=VC-BDM ∴，解得h=， ∴点C到平面BDM的距离为． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力． 21. 定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m． （1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程； （2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：（1）∵f（x）=x2+x ∴f′（x）=2x+1，f（1）=2， ∴f′（1）=3， ∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1）， 即3x﹣y﹣1=0； （2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2 ∴h′（x）=x2﹣2x﹣3， 当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0， 当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0， 当3＜x＜4时，h′（x）＞0， 要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0， 由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得， 而h（﹣1）=，h（4）=m﹣， ∵m+， ∴， 即m。 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决； （2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题． 解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x ∴f′（x）=2x+1，f（1）=2， ∴f′（1）=3， ∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1）， 即3x﹣y﹣1=0； （2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2 ∴h′（x）=x2﹣2x﹣3， 当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0， 当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0， 当3＜x＜4时，h′（x）＞0， 要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0， 由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得， 而h（﹣1）=，h（4）=m﹣， ∵m+， ∴， 即m。 点评： 导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题． 22. （13分）（2013?宿迁一模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，n∈N*． （1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式； （2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值； （3）若成等差数列，求正整数x，y的值． 参考答案： (1) ，n∈N* ;(2) λ≥3;(3) x=1，y=2． （1）因为， 其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0， 当n