河北省秦皇岛市第四中学高一数学文期末试题含解析

河北省秦皇岛市第四中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列对应不是映射的是 (   ) 参考答案： D 选项A,B,C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性。选项D中的元素1与集合N中的两个元素对应，不具有唯一性，故选项D中的对应不是映射。选D。   2. （5分）一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是．（精确到0.1．已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）（） A． 52 B． 6.6 C． 71 D． 83 参考答案： B 考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题． 分析： 设所需的年数为x，得方程，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案． 解答： 设该元素的质量衰减到一半时所需要的年数为x，可得 化简，得 即≈6.6 故选B 点评： 本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题． 3. 到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的点的轨迹方程是（　　） A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y+9=0 C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 参考答案： D 【考点】J3：轨迹方程． 【分析】由题意可设所求点的轨迹方程为3x﹣4y+m=0，利用两平行线间的距离等于2求得m值，则点的轨迹方程可求． 【解答】解：由题意可知，到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的点的轨迹是与直线3x﹣4y﹣1=0平行的两条直线， 且所求直线与已知直线间的距离为2，设所求点的轨迹方程为3x﹣4y+m=0， 则由两平行线间的距离公式可得：， 即|m+1|=10，解得m=﹣11或9． ∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的点的轨迹方程是3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0． 故选：D． 4. 若，则函数 两个零点分别位于区间(    ) A.和内         B.和内 C.和内       D.和内 参考答案： A 略 5. 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为(　　) A. (－1,2)，2 B. (1，－2)，2 C. (－1,2)，4 D. (1，－2)，4 参考答案： A 根据圆的标准方程可知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2,选A. 6. （6）如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　） Ａ．45°                   Ｂ．60°                   Ｃ．90°                   Ｄ．120° 参考答案： B 略 7. 已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为(　　) A. B. C. - D. - 参考答案： D 【分析】 利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，然后利用正弦的定义，求得的值. 【详解】依题意可知，所以，故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 8. （3分）下列选项中不是右图中几何体的三种视图之一的是（） A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 作图题；空间位置关系与距离． 分析： 由题意，A为几何体的正视图，B为几何体的侧视图，C为几何体的俯视图，即可得出结论． 解答： 由题意，A为几何体的正视图，B为几何体的侧视图，C为几何体的俯视图， 故选：D． 点评： 三视图的画图规则：①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等；②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出． 9. 差数列中，已知前15项的和，则等于 （　　） A．            B．12             C．            D．6 参考答案： D 略 10. 已知tanα=2，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值． 【解答】解：∵tanα=2，则=sinα?cosα===， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数f(x)=xa的图象过点（27，3），则这个函数解析式为          .. 参考答案： 由题意可得：，解得： ∴这个函数解析式为   12. 已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3，c－b＝4－4a＋，则a、b、c的大小关系____________. 参考答案： c≥b＞a； 13. 若函数的图象与直线y＝k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是              参考答案： 略 14. ①已知，且，则            。     ②已知是第二象限角，，则            。 参考答案： ①  ② 略 15. 幂函数的图像经过点，则它的单调递减区间是 ． 参考答案： (－∞,0)和(0,+∞) 设幂函数，由，得， 所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数， 其单调递减区间为和.   16. 已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由已知整理可得（sinx+）（cosy﹣）=0，解得sinx=﹣或cosy=，结合范围x，y∈[0，2π]，即可求解x﹣y的最小值． 【解答】解：∵2sinxcosy﹣sinx+cosy=， ∴2sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0， ∴sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0， ∴（sinx+）（cosy﹣）=0， ∴sinx=﹣或cosy=， ∵x，y∈[0，2π] ∴x=或，y=或， 当x=，y=时，x﹣y取得最小值，最小值为﹣=﹣． 故答案为：﹣． 17. 已知数列满足则的最小值为__________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.     已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，S是ABC的面积．若a2+c2=b2+ac， (I)求角B ； (II)若b=2，S=，判断三角形形状． 参考答案： 解：（Ⅰ）因为得 又因为 所以 所以-----------------------------------------------5分 （Ⅱ），得， 又，所以   ，得， 故三角形为等边三角形--------------------------------------------8分   略 19. 已知函数是定义域为R上的奇函数． （1）求实数t的值； （2）若f（1）＞0，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围； （3）若且 [1，+∞）上最小值为﹣2，求m的值． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）由已知可得f（0）=0，求得t值，已知f（x）为奇函数，则t值可求； （2）由f（x）的解析式可得f（x）=是R上的单调递增，结合奇偶性把不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0转化为关于x的一元二次不等式，由判别式小于0求得 实数b的取值范围； （3））由f（1）=求得a值，则h（x）=，令u=f（x）=，则g（u）=u2﹣2mu+2，然后利用函数的单调性结合配方法求得f（x）在[1，+∞）上最小值，进一步求得m的值． 【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0， ∴1+（1﹣t）=0，得t=2， 此时f（x）=，满足f（﹣x）=，f（x）为奇函数； （2）由（1）知：f（x）=， ∵f（1）＞0，∴a﹣＜0，又a＞0且a≠1，∴a＞1， ∴f（x）=是R上的单调递增， 又f（x）是定义域为R上的奇函数， ∴f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0?f（x2+bx）＞f（x﹣4）?x2+bx＞x﹣4． 即x2+bx﹣x+4＞0在x∈R上恒成立， ∴△=（b﹣1）2﹣16＜0，即﹣3＜b＜5， ∴实数b的取值范围为（﹣3，5）． （3）∵f（1）=，∴，解得a=2或a=﹣（舍去）， ∴h（x）=， 令u=f（x）=，则g（u）=u2﹣2mu+2， ∵f（x）=在R上为增函数，且x≥1，∴u≥f（1）=， ∵h（x）=在[1，+∞）上的最小值为﹣2， ∴g（u）=u2﹣2mu+2在[）上的最小值为﹣2， ∵g（u）=u2﹣2mu+2=（u﹣m）2+2﹣m2的对称轴为u=m， ∴当m时，，解得m=2或m=﹣2（舍去）， 当m＜时，，解得m=（舍去）， 综上可知：m=2． 20. （12分） 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若构成等比数列，且： （1）证明：； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求证：对任意正整数n，有 参考答案： 解：（1）在中令n=1，则 ，又数列各项均为正数， ..............................................2分 （2）时，， 时，， 两式相减得： 故数列从第二项起是公差为2的等差数列..........................6分 ，而构成等比数列， ，解得，又， ， ...........................................8分 （3）, ...............................12分   21. 三棱柱中ABC-A1B1C1中,侧棱A1A垂直于底面ABC ，B1C1=A1C1,，AC1⊥A1B, M,N分别为A1B1,AB中点，求证： （1）平面AMC1∥平面NB1C （2）A1B⊥AM． 参考答案： 解：证明（1）分别为A1B1,AB中点， ，∥AM 又，， 连接MN，在四边形中，有， 同理得···········3分 ，，， ·········5分 （2） B1C1=A1C1，M为A1B1中点，又三棱柱ABC-A1B1C1侧棱A1A垂直于底面ABC，平面A1AB1B垂直于底面ABC交线AB， ， ，又AC1⊥A1B，·········································8分 ，，··········10分 略 22. 已知，、 (1)求的值． (2)求的值； 参考答案： 解：由已知得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角， ∴sinα＝＝，sinβ＝＝. ∴tanα＝7，tanβ＝. (1) (2) ＝＝＝－3.   略