河北省石家庄市赞皇县楼底乡中学高三数学理上学期期末试题含解析

河北省石家庄市赞皇县楼底乡中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知动点满足线性条件，定点，则直线MN斜率的最大值为 A.  1　　B. 2        C. 3  　D. 4 参考答案： C 　根据可行域，当取时，直线的斜率最大为3.故选 C.  2. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的体积为（　　） A．81π B．128π C．144π D．288π 参考答案： D 【考点】球的体积和表面积． 【分析】当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为18，求出半径，即可求出球O的体积． 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=，故R=6， 则球O的体积为πR3=288π， 故选D． 3. 欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形.如图，在△ABC中，的垂心为的中点分别为即为△ABC的欧拉三角形，则向△ABC中随机投掷一点，该点落在内的概率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 计算三角形阴影部分的面积，再利用几何概型计算概率，即可得答案. 【详解】如图所示，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系， ∵， ∴的方程为， ∵，∴，∴的方程为， 当时，得， ∴，，， ∴， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用坐标法进行求解. 4. 的单调减区间为（    ） A．     B．     C．      D． 参考答案： A 略 5. 已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A．(0,3) B．(1,3) C．(2,4) D．(－∞,3) 参考答案： B 6. 设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是（   ） A．[－2,2]       B．[，]        C．[，2]         D．[，2] 参考答案： D 7. 已知集合,，则为 A.             B.         C.         D. 参考答案： D 略 8. 已知不等式≤的解集不是空集，则实数的取值范围是 （A）＜2 （B）≤2 （C）＞2 （D）≥2 参考答案： D 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（     ） （A）                  （B） （C）8                   （D） 参考答案： B 10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（   ） A． B．－1 C．2018 D．2 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则=　    　． 参考答案： 14 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，据条件即可得出OD⊥AB，OE⊥AC，而，代入进行数量积的计算即可求出该数量积的值． 【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则： OD⊥AB，OE⊥AC； ∴ = = = = =32﹣18 =14． 故答案为：14． 12. 在棱长为1的正方体中，，在面中取一点，使最小，则最小值为   ▲   ． 参考答案： 略 13. 对于实数，若整数满足，则称为离最近的整数，记为，，给出下列四个命题：     ①；   ②函数的值域是[0，]；     ③函数的图像关于直线(k∈Z)对称； ④函数是周期函数，最小正周期是1； 其中真命题是　__________　． 参考答案： ②③④ ①故错，②，故函数的值域是[0，]， ③④画图可知，也可检验，如等 14. 已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为　   　． 参考答案： 36 【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出． 【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5， ∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0， 解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号． 解得ab≥36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 已知，则的最小值为        参考答案： 4 16. 已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=　    　． 参考答案： ﹣4 【考点】导数的运算． 【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值． 【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1）， 得：f′（x）=2x+2f′（1）， 取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1）， 所以，f′（1）=﹣2． 故f′（0）=2f′（1）=﹣4， 故答案为：﹣4． 17. （几何证明选讲）圆是的外接圆，过点的圆的切线与的延长线交于点，， ，则的长为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数=。 （1）当时，求函数的单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）在（1）的条件下，设=+， 求证：   （），参考数据：。（13分） 参考答案： （1）当时，=，，得或，故的单调增区间是，。…………………………………3分 （2）=，==， 令=0得或。 当时，，递增，；                         6分 当时，，＜0，递减；，，递增， == ………………………………………………………7分 当时，，0，递减，==…8分 （3）令=—，。，递减， ，，∴ ， ==……=   （）……13分 略 19.   如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),. (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？   参考答案：               20. 已知数列的前项和，且是与1的等差中项。 （Ⅰ）求数列和数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前项和; （Ⅲ）若,是否存在 使得，并说明理由。 参考答案： (1)由，由求得 又∵    ∴         ………4分    (2) ∴       ………8分    (3)当为奇数时: ∴ 当为偶数时由题 ∴为偶数 ∴满足条件的存在且等于6.           ………12分 21. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合．直线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为：． （1）写出曲线的直角坐标方程，并指明是什么曲线； （2）设直线与曲线相交于两点，求的值． 参考答案： （2）把代入，整理得，---6分 设其两根分别为则，---8分 所以．----10分 22. 已知向量 ()  和=()，∈［π，2π］． (Ⅰ)求的最大值；(Ⅱ)当=时，求的值． 参考答案： 解析：(Ⅰ)                    = ==       ∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1 max=2．                                                  (Ⅱ)  由已知,得                    又   ∴           ∵θ∈［π，2π］∴，∴．