河北省石家庄市衡水中学2023年高二数学理联考试卷含解析

河北省石家庄市衡水中学2023年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线，与互相垂直，则的值为（     ） A．       　 B．1      　　 C．0或       D．1或 参考答案： D 略 2. 若实数，满足不等式组则的最小值为（     ）    A．          B．           C．         D． 参考答案： A 3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若，，则等于（  ） A. 7 B. 13 C. 15 D. 31 参考答案： C 【分析】 先根据已知求出，即得的值. 【详解】由题得，即， 则， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（     ） A．         B．    C．       D． 参考答案： A 略 5. 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　) A．2             B．3              C．6              D．9 参考答案： D 6. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（　　） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 参考答案： 试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。 考点：本题主要考查分类计数原理的应用。 点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。用列举法也可以，形象、直观易懂。 7. 正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、、、的大小关系是（    ）   （A）            （B） （C）           （D）   参考答案： A 8. 在钝角△ABC中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是（　　） A． （1，3） B． （1，） C． （，3） D． 不确定 参考答案： C 略 9. 已知数列 满足： >0，，则数列{ }是（    ）   A. 递增数列       B. 递减数列     C. 摆动数列     D. 不确定 参考答案： B 由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.   10. （     ） A.     B.      C.    D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，,则球O的表面积等于   ▲   . 参考答案： 略 12. 已知数列的前n项的和满足,则=       ． 参考答案： ；解析：由得，∴， ∴，； ∴=； 13. 若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为          ． 参考答案： ∵椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点 ∴，即.   14. 下面是一个算法．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是           . 参考答案： 2或6 15. 已知，则从大到小的排列应为________________． 参考答案： 16. .蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=_____________． 参考答案： 37，f(n)=3n2-3n+1 17. 在行列式中，元素5的代数余子式的值=______ 参考答案： 12 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分) ．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x. (1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值． 参考答案： (1)∵f′(x)＝3x2－2ax＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴ (当x＝1时取最小值)． ∴a的取值范围为(－∞，3]．……………… 6分 (2)∵f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0， ∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，x∈[1,5]， f′(x)＝3x2－10x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)． 当10， 即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15， ∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15. …………12分 19. 一束光线过点射到x轴上，再反射到圆C： 上，     (1)当反射光线经过圆心时，求反射光线所在的直线方程的一般式； (2)求反射点的横坐标的变化范围。 参考答案： 解析：（1）M点关于x轴的对称点为，圆C的圆心为（1，-4）所以反射光线所在的直线的方程为： (2)当反射光线的斜率存在时，设其方程为： 有分析只当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围，所以有圆心到反射光线的距离等于半径，即，则反射光线的方程为 当斜率不存在时，经检验也与圆相切，则反射点的横坐标的取值范围是 20. 已知中，，，点在直线上，若的面积为，求出点坐标． 参考答案： 解析：由题得：． ，（为点到直线的距离）． 设点坐标为，的方程为，即． 由， 解得或． 点坐标为或． 21. （本题满分10分）在 △ABC中，已知 B=30°，，，解三角形并判断三角形的形状. 参考答案： ∵    ∴sinC=                    ……  4分 ∴C=60°或120°                                           ……  8分 当C=60°时，A=90° 当C=120°时，A=30°                                       ……  10分 ∴△ABC 是直角三角形或顶角是 120°等腰三角形.              …… 12分 22. 在直角坐标系中直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：. （1）求直线l的普通方程及曲线C直角坐标方程； （2）若曲线C上的点到直线l的距离的最小值. 参考答案： （1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）. 【分析】 (1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案. (2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案. 【详解】解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为         （2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.