河北省衡水市留楚中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数,则满足的x的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:.
考点:复数概念及运算.
【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.共轭复数的概念.
3. 已知函数,且,则( )
(A)0 (B)4 (C)0或4 (D)1或3
参考答案:
4. 已知函数.那么不等式的解集为
(A) (B)
(C) (D
参考答案:
D
5. 点P是双曲线左支上的一点,其右焦点为,若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有
A.60种 B.40种 C.20种 D.10种
参考答案:
答案:C
7. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足(﹣)?(﹣)=0,则||的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案:
C
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由向量垂直的条件可得?=0,运用向量的平方即为模的平方,可得|+|=,再化简运用向量的数量积的定义,结合余弦函数的值域,即可得到所求最大值.
【解答】解:由题意可得?=0,
可得|+|==,
(﹣)?(﹣)=2+?﹣?(+)
=||2﹣||?|+|cos<(+,>=0,
即为||=cos<+,>,
当cos<+,>=1即+,同向时,
||的最大值是.
故选:C.
8. 已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
解:由已知,双曲线,即,
,,圆心,半径,
若双曲线渐近线与圆方程相切,
则,
∴,
∴,,,
∴双曲线方程.
9. 给定下列两个关于异面直线的命题:那么( ▲ )。
命题(1):若平面上的直线与平面上的直线为异面直线,直线是与的交线,那么至多与中的一条相交;
命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
A.命题(1)正确,命题(2)不正确 B.命题(2)正确,命题(1)不正确
C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确
参考答案:
D
略
10. 函数
则( )
A.a>c>b B.b
b>c
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列满足“对任意正整数,恒成立”,则称数列为“差非增数列”.
给出下列数列:
①,②,③,④,⑤.
其中是“差非增数列”的有________(写出所有满足条件的数列的序号).
参考答案:
③④
12. 动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动,点作垂直于 面的直线与正方体表面交于,,
则函数的解析式为
参考答案:
13. 已知sinα=,且α为钝角,则cos= .
参考答案:
.
【分析】根据题意,由余弦的二倍角公式可得cos=,又由α是钝角,可得的范围,由此可得cos的符号为正,即可得答案.
【解答】解:∵由α是钝角,即90°<α<180°,则45°<<90°,
∴cosα<0,cos>0,
∴cosα=﹣=﹣,
∴cos===.
故答案为:.
14. 已知集合,若则实数的取值范围是 .
参考答案:
15. 已知复数z满足(1﹣i)z=2i,其中i为虚数单位,则z的模为 .
参考答案:
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】由(1﹣i)z=2i,得,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.
【解答】解:由(1﹣i)z=2i,
得=,
则z的模为:.
故答案为:.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.
16. 一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),那么此几何体的侧面积为 cm2.
参考答案:
80
17. 已知等差数列 的前n的和为,且,
则取得最大值时的n= .
参考答案:
20
由得。由,得,所以解得。所以,由得,,所以当,,所以前20项之和最大,此时。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=+bx(a≠0),g(x)=1+lnx.
(Ⅰ)若b=1,且F(x)=g(x)﹣f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)设函数g(x)的图象C1与函数f(x)的图象C2交于点M、N,过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q,是否存在点T,使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行?如果存在,求出点T的横坐标,如果不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)先求函数F(x)的解析式,因为函数F(x)存在单调递减区间,所以F'(x)<0有解,求出a的取值范围;
(Ⅱ)利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2.假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.求出函数的导数,求得切线的斜率,通过构造函数,求导数判断单调性,结论即可得证
【解答】解:(Ⅰ)b=1时,函数F(x)=g(x)﹣f(x)=1+lnx﹣﹣x,x>0,
则F′(x)=﹣ax﹣1=﹣
因为函数F(x)存在单调递减区间,所以F'(x)<0有解,即ax2+x﹣1>0,有x>0的解.
①a>0时,y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线,y=ax2+x﹣1>0总有x>0有解;
②a<0时,y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线,而y=ax2+x﹣1>0总有x>0的解;
则△=1+4a>0,且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根,此时,.
综上所述,a的取值范围为(﹣,0)∪(0,+∞);
(Ⅱ)设点M、N的坐标是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2,
则点P、Q的横坐标为,
C1点在P处的切线斜率为,
C2点Q处的切线斜率为
假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行,则k1=k2
即,则
∴.
设,则①
令.
则
因为t>1时,r'(t)>0,所以r(t)在(1,+∞)上单调递增.
故r(t)>r(1)=0
则.这与①矛盾,假设不成立.
故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行.
19. 已知等差数列的公差为,等比数列的公比为
(1) 求数列与的通项公式;
(2) 若cn=an·bn,求数列的前n项和Sn。
参考答案:
20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
参考答案:
(1)在△PAD中,因为E,
F分别为AP,AD的中点,
所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD,PD?平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,
所以△ABD为正三角形.因为F是AD的
中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
略
21. (本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)判断函数的奇偶性,并予以证明;
(Ⅲ)求使成立的的集合.
参考答案:
解:(Ⅰ)
由 ………………2分
所求定义域为 ………………3分
(Ⅱ)令 ………………4分
定义域为
∴ ……………8分
(Ⅲ) ……………9分
当 . 不等式解集为空集
综上:
当 不等式的解集为空集 ……………14分
22. (本小题满分12分)等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记,求数列的前项和 .
参考答案:
∵对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上
∴得,当时,,
当时,,
又∵{}为等比数列, ∴, 公比为, ∴
(2)当b=2时,,
则
相减,得
=
∴