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河北省邢台市东方中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )
A. 34种 B. 48种
C. 96种 D. 144种
参考答案:
C
试题分析:,故选C.
考点:排列组合.
2. 给出下列结论:①命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”;
②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;
③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】利用命题的否定判断①的正误;充要条件判断②的正误;等比数列的定义判断③的正误.
【解答】解:对于①,命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”;满足命题的否定形式,所以①正确.
对于②,命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;前者能够说明后者成立,sinα=成立则α=不一定成立,所以②正确;
对于③,数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误.例如:数列是常数列{0},则满足“an+1=3an”,数列不是等比数列,所以③不正确;
故选:A.
3. 若,是互不平行的两个向量,且=λ1+, =+λ2,λ1,λ2∈R,则A、B、C三点共线的充要条件是( )
A.λ1=λ2=1 B.λ1=λ2=﹣1 C.λ1λ2=1 D.λ1λ2=﹣1
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】将三点共线转化为向量共线;利用向量共线的充要条件列出向量满足的等式;利用平面向量的基本定理列出方程组;得到充要条件.
【解答】解:A、B、C三点共线?与共线,?存在k使得=k?λ1+=k(+λ2),
则,
即λ1λ2=1,
故选:C
4. 在自然数集N中,被3除所得余数为r的自然数组成一个“堆”,记为,即,其中,给出如下四个结论:
① ②若;
③ ④若属于同一“堆”,则不属于这一“堆”其中正确结论的个数 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
略
5. 完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是( )
A.①分层抽样,②简单随机抽样 B.①简单随机抽样,②系统抽样
C.①系统抽样,②分层抽样 D.①②都用分层抽样
参考答案:
A
略
6. 在中,,则此三角形解的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
参考答案:
B
7. 展开式中项的系数为( )
A. -210 B. 210 C. 30 D. -30
参考答案:
A
试题分析:由题意,
,从二项式展开中,出现在中,所以前的系数为,故选A.
考点:1.二项式定理的应用;2.二项式的系数.
8. 定义在[0,+∞)上的函数满足:,.其中表示的导函数,若对任意正数a,b都有,则实数的取值范围是( )
A. (0,4] B. [2,4]
C. (-∞,0)∪ [4,+∞) D. [4,+∞)
参考答案:
C
【分析】
由可得,令
,则,利用导数可得函数在区间上单调递减,从而由原不等式可得,解不等式可得所求范围.
【详解】∵,
∴,当且仅当且,即时两等号同时成立,
∴“对任意正数都有”等价于“”.
由可得,
令,则,
∴.
令,
则,
∴当时,单调递增;当时,单调递减.
∴,
∴,
∴函数在区间上单调递减,
故由可得,
整理得,解得或.
∴实数的取值范围是.
故选C.
【点睛】本题难度较大,涉及知识点较多.解题的关键有两个,一是求出的最小值,在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件,特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立;二是结合条件中含有导函数的等式构造函数,并通过求导得到函数的单调性,最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解.主要考查构造、转化等方法在解题中的应用.
9. 为了得到函数y=2sin2x的图象,可将函数y=4sin·cos的图象( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
参考答案:
C
略
10. 抛物线的准线方程为,则实数的值为 ( )
A. B. C.8 D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形,则圆柱的体积为 .
参考答案:
或
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】有两种形式的圆柱的展开图,分别求出底面半径和高,分别求出体积.
【解答】解:圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,
当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是π×()2×a=;
当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是π×()2×2a=,
综上所求圆柱的体积是:或.
故答案为:或;
【点评】本题考查圆柱的侧面展开图,圆柱的体积,容易疏忽一种情况,导致错误.
12. 等差数列的公差,且,仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是
参考答案:
略
13. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm,高为,则该圆台的母线长为 .
参考答案:
圆台的上、下底面半径分别为,高为,则在等腰梯形中,该圆台的母线长即为腰长:
故答案为
14. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东30°处,则两灯塔A、B间的距离为 .
参考答案:
700米
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】根据题意,△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可求得AB的长
【解答】解:由题意,如图,△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,
利用余弦定理可得:AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°,
∴AB=700米,
故答案为:700米.
4. 若x,y满足约束条件 ,则 的最大值为_________
参考答案:
3
16. 如图所示,将数以斜线作如下分群:(1),(2,3),(4,6,5),
(8,12,10,7),(16,24,20,14,9),…。并顺次称其为第1群,第2群,第3群,第4群,…。
⑴第7群中的第2项是: ;
⑵第n群中n个数的和是: 。
1
3
5
7
9
…
2
6
10
14
18
…
4
12
20
28
36
…
8
24
40
56
72
…
16
48
80
112
114
…
…
…
…
…
…
…
参考答案:
17. 曲线在点处的切线方程是_____________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知数列是一个等差数列,且,.(1)求的通项;
(2) 求前项和;
参考答案:
解:(1)设的公差为,由已知条件,,(2分)
解得,.(4分)
所以.(6分)
(2).(12分)
19. 设是虚数,是实数,且.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若,求证:为纯虚数.
参考答案:
(1);(2)略
【详解】分析:(1)设z1=a+bi,(a,b∈R,且b≠0),则=(a+)+(b﹣),由z1是实数,得a2+b2=1,由此求出z1的实部的取值范围为[﹣,].
(2)ω====,由此能证明ω=是纯虚数.
详解:(1)解:设.则
,
因为.所以,又,所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
点睛:复数实部为,虚部为,共轭复数实部为,虚部为,在复平面内对应的点关于是轴对称,复数的运算,难点是乘除法法则,设,则,
.
20. 如图,正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x.
(1)当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,求二面角B1﹣EF﹣B的正切值;
(2)求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围.
参考答案:
解:(1)∵正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x,
∴=≤=,
∴当a﹣x=x,即x=时,三棱锥B1﹣BEF的体积最大.
取EF中点O,∵BO⊥EF,B1O⊥EF,∴∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角.
在Rt△BEF中,BO===a,
∴tan∠B1OB===2.
∴当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,二面角B1﹣EF﹣B的正切值为.
(2)在AD上取点H,使AH=BF=AE,则HF∥CD∥A1B1,
∵HF=CD=A1B1,A1H∥B1F,∴∠HA1E(或补角)是异面直线A1E与B1F所成的角,
在Rt△A1AH中,,在Rt△A1AE中,,
在Rt△HAE中,HE==,
在△HA1E中,cos∠HA1E==,
∵0<x≤a,∴a2<x2+a2≤2a2,,
∴,
∴异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围是[,1).
考点:异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(1)由已知得=≤=,从而当x=时,三棱锥B1﹣BEF的体积最大.取EF中点O,则∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角,由此能求出当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,二面角B1﹣EF﹣B的正切值.
(2)在AD上取点H,使AH=BF=AE,则HF∥CD∥A1B1,A1H∥B1F,从而∠HA1E(或补角)是异面直线A1E与B1F所成的角,由此利用余弦定理能求出异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围.
解答:解:(1)∵正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x,
∴=≤=,
∴当a﹣x=x,即x=时,三棱锥B1﹣BEF的体积最大.
取EF中点O,∵BO⊥EF,B1O⊥EF,∴∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角.
在Rt△BEF中,BO===a,
∴tan∠B1OB===2.
∴当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,二面角B1﹣EF﹣B的正切值为.
(2)在AD上取点H,使AH=BF=AE,则HF∥CD∥A1B1,
∵H
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