河北省邢台市东方中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

河北省邢台市东方中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（   ） A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 参考答案： C 试题分析：,故选C. 考点：排列组合. 2. 给出下列结论：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”； ②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件； ③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误． 【解答】解：对于①，命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确． 对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确； 对于③，数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以③不正确； 故选：A． 3. 若，是互不平行的两个向量，且=λ1+， =+λ2，λ1，λ2∈R，则A、B、C三点共线的充要条件是（　　） A．λ1=λ2=1 B．λ1=λ2=﹣1 C．λ1λ2=1 D．λ1λ2=﹣1 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】将三点共线转化为向量共线；利用向量共线的充要条件列出向量满足的等式；利用平面向量的基本定理列出方程组；得到充要条件． 【解答】解：A、B、C三点共线?与共线，?存在k使得=k?λ1+=k（+λ2）， 则， 即λ1λ2=1， 故选：C 4. 在自然数集N中，被3除所得余数为r的自然数组成一个“堆”，记为，即，其中，给出如下四个结论：     ①                            ②若；     ③                     ④若属于同一“堆”，则不属于这一“堆”其中正确结论的个数                  （    ）                                    A．1                B．2                C．3                D．4 参考答案： C 略 5. 完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是(　　) A．①分层抽样，②简单随机抽样      B．①简单随机抽样，②系统抽样 C．①系统抽样，②分层抽样          D．①②都用分层抽样 参考答案： A 略 6. 在中，，则此三角形解的个数为 A. 0                  B. 1           C. 2                     D. 无数个 参考答案： B 7. 展开式中项的系数为（ ） A. －210 B. 210 C. 30 D. －30 参考答案： A 试题分析：由题意， ，从二项式展开中，出现在中，所以前的系数为，故选A. 考点：1.二项式定理的应用；2.二项式的系数. 8. 定义在[0,+∞)上的函数满足：，．其中表示的导函数，若对任意正数a，b都有，则实数的取值范围是（　　） A. (0,4] B. [2,4] C. (－∞,0)∪ [4,+∞) D. [4,+∞) 参考答案： C 【分析】 由可得，令 ，则，利用导数可得函数在区间上单调递减，从而由原不等式可得，解不等式可得所求范围． 【详解】∵， ∴，当且仅当且，即时两等号同时成立， ∴“对任意正数都有”等价于“”． 由可得， 令，则， ∴． 令， 则， ∴当时，单调递增；当时，单调递减． ∴， ∴， ∴函数在区间上单调递减， 故由可得， 整理得，解得或． ∴实数的取值范围是． 故选C． 【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出的最小值，在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是结合条件中含有导函数的等式构造函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用． 9. 为了得到函数y＝2sin2x的图象，可将函数y＝4sin·cos的图象(    ) A．向右平移个单位         B．向左平移个单位 C．向右平移个单位         D．向左平移个单位 参考答案： C 略 10. 抛物线的准线方程为，则实数的值为      （     ） A．       B．     C．8        D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为         ． 参考答案： 或 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形， 当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=； 当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=， 综上所求圆柱的体积是：或． 故答案为：或； 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误． 12. 等差数列的公差，且，仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是           参考答案： 略 13. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为          ． 参考答案： 圆台的上、下底面半径分别为，高为，则在等腰梯形中，该圆台的母线长即为腰长： 故答案为   14. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为　　． 参考答案： 700米 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长 【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°， 利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°， ∴AB=700米， 故答案为：700米． 4. 若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为_________    参考答案： 3 16. 如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5）， （8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…。并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…。 ⑴第7群中的第2项是：                 ； ⑵第n群中n个数的和是：                  。      1 3 5 7 9 … 2 6 10 14 18 … 4 12 20 28 36 … 8 24 40 56 72 … 16 48 80 112 114 … … … … … … …             参考答案： 17. 曲线在点处的切线方程是_____________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知数列是一个等差数列，且，.（1）求的通项; (2) 求前项和； 参考答案： 解：（1）设的公差为，由已知条件，，（2分）    解得，．（4分） 所以．（6分） (2)．（12分） 19. 设是虚数，是实数，且． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若，求证：为纯虚数． 参考答案： （1）；（2）略 【详解】分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]． （2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数． 详解：(1)解:设.则 , 因为.所以，又，所以.所以. 所以, 又,即.解得. 所以的实部的取值范围的取值范围为. (2)证明:, 因为.所以, 所以为纯虚数. 点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则， ． 20. 如图，正方体ABCD=A1B1C1D1，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x． （1）当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值； （2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围． 参考答案： 解：（1）∵正方体ABCD=A1B1C1D1，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x， ∴=≤=， ∴当a﹣x=x，即x=时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大． 取EF中点O，∵BO⊥EF，B1O⊥EF，∴∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角． 在Rt△BEF中，BO===a， ∴tan∠B1OB===2． ∴当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为． （2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A1B1， ∵HF=CD=A1B1，A1H∥B1F，∴∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角， 在Rt△A1AH中，，在Rt△A1AE中，， 在Rt△HAE中，HE==， 在△HA1E中，cos∠HA1E==， ∵0＜x≤a，∴a2＜x2+a2≤2a2，， ∴， ∴异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围是[，1）． 考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）由已知得=≤=，从而当x=时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大．取EF中点O，则∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角，由此能求出当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值． （2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A1B1，A1H∥B1F，从而∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围． 解答：解：（1）∵正方体ABCD=A1B1C1D1，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x， ∴=≤=， ∴当a﹣x=x，即x=时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大． 取EF中点O，∵BO⊥EF，B1O⊥EF，∴∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角． 在Rt△BEF中，BO===a， ∴tan∠B1OB===2． ∴当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为． （2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A1B1， ∵H