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河北省衡水市南午村镇中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 齐王与田忌赛马,每场比赛三匹马各出场一次,共赛三次,以胜的次数多者为赢.田忌的上马优于齐王的中马,劣于齐王的上马,田忌的中马优于齐王的下马,劣于齐王的中马,田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分组进行比赛,如双方均不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】记齐王的三匹马分别为A、B、C,记田忌的三匹马分别为a、b、c.利用列举法能求出田忌获胜的概率.
【解答】解:记齐王的三匹马分别为A、B、C,记田忌的三匹马分别为a、b、c.
若A与a比赛,记为Aa,齐王与田忌赛马,有如下六种情况:
Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Bc,Ca;Ab,Ba,Cc;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca.
其中田忌获胜的只有一种:Ac,Ba,Cb.
∴田忌获胜的概率为.
故选:B.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
2. 设全集, 则集合,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 若函数的图象向左平移个单位后与原图象重合,则的最小值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 在20瓶饮料中,有4瓶已过了保质期。从这20瓶饮料中任取1瓶,取到已过保质期饮料的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 在中,分别为三个内角所对的边,设向量=(b-c,c-a), =(b,c+a),若⊥,则角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 同时满足下列条件:(1)是奇函数,(2)在定义域内是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 单位向量,的夹角为,则向量与向量的夹角的余弦值为().
A. B. C. D.
参考答案:
A
∵,是单位向量,且,的夹角为,
∴,
,
∴.
故选.
8. 直线l:y=kx-3k与圆C:x+y-4x=0的位置关系是
A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能
参考答案:
A
9. 若a>l,设函数f(x)=ax+x -4的零点为m,函数g(x)= logax+x-4的零点为n,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
参考答案:
A
10. 设分别是与同向的单位向量,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数 ,若对任意,存在,,则实数b的取值范围为_____.
参考答案:
[4,+∞)
【分析】
利用导数求函数f(x)在(﹣1,1)上的最小值,把对任意x1∈(﹣1,1),存在x2∈(3,4),f(x1)≥g(x2)转化为g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1有解.
【详解】解:由f(x)=ex﹣x,得f′(x)=ex﹣1,
当x∈(﹣1,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(﹣1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴f(x)min=f(0)=1.
对任意x1∈(﹣1,1),存在x2∈(3,4),f(x1)≥g(x2),
即g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1,
函数g(x)=x2﹣bx+4的对称轴为x=.
当≤3,即b≤6时,g(x)在(3,4)上单调递增,g(x)>g(3)=13﹣3b,
由13﹣3b≤1,得b≥4,∴4≤b≤6;
当≥4,即b≥8时,g(x)在(3,4)上单调递减,g(x)>g(4)=20﹣4b,
由20﹣4b≤1,得b≥,∴b≥8;
当3<<4,即6<b<8时,g(x)在(3,4)上先减后增,,
由≤1,解得或b,∴6<b<8.
综上,实数b的取值范围为[4,+∞).
故答案为:[4,+∞).
【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力,是中档题.
12. 经过两条直线2x + y -8= 0和x- 2y +1= 0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
参考答案:
13. (5分)已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x﹣y=4},则M∩N等于 .
参考答案:
{(3,﹣1)}
考点: 交集及其运算.
分析: 集合M,N实际上是两条直线,其交集即是两直线的交点.
解答: 联立两方程解得
∴M∩N={(3,﹣1)}.
故答案为{(3,﹣1)}.
点评: 本题主要考查了集合的交运算,注意把握好各集合中的元素.
14. 已知f(x)=(a﹣1)x在R上单调递增,则a范围是 .
参考答案:
a>2
考点: 指数函数的图像与性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由指数函数的单调性知a﹣1>,解得即可.
解答: 解:因为指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上单调递增,
所以a﹣1>1,
解得a>2.
故答案为:a>2.
点评: 本题主要考查指数函数的单调性.
15. 已知 ,,则等于 ;
参考答案:
16. 对于函数成立的所有常数M中,我们把M的最大值叫做的下确界,则对于不全为0, 的下确界是
参考答案:
17. 在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)=________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)(2015春?成都校级月考)(1)化简;
(2)计算:4+2log23﹣log2.
参考答案:
考点: 对数的运算性质;运用诱导公式化简求值.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值.
分析: (1)根据诱导公式和二倍角公式化简即可;
(2)根据对数的运算性质计算即可.
解答: 解:(1)==﹣;
(2)4+2log23﹣log2=2+log29﹣log2=2+log28=5.
点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,和三角形函数的化简,属于基础题.
19. (12分) 已知函数,的最大值是1,其图像经过点.(1)求的解析式;(2)已知,且,,求的值.
参考答案:
解:(1)依题意有,则,将点代入得,而,,,故。 6分
(2)依题意有,而,,
。 12分
略
20. (1)已知,求的值;
(2)化简:
参考答案:
解:(1)∵
∴ ……………………………………………3分
∴ ………ks5u……………………4分
∴ ………………………………………………5分
∴ ……………………………………………………………6分
(2)原式
= ………………………………8分 = …………………………………9分
= ……………………………………………………………11分
= ………………………………………………………………12分
略
21. 化简求值:
(1)()﹣(﹣9.6)0﹣()+;
(2)sin50°?(1+tan10°)
参考答案:
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算;三角函数的化简求值.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的求值.
【分析】(1)化负指数为正指数,化0指数幂为1,然后结合对数的运算性质化简求值;
(2)化切为弦,通分后,利用两角和与差的正弦化简得答案.
【解答】解:(1)()﹣(﹣9.6)0﹣()+
=
==;
(2)sin50°?(1+tan10°)
=cos40°
=cos40°
=cos40°
=.
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及化简求值,考查了三角函数的化简求值,训练了两角和与差的正弦,是中档题.
22. 已知函数g(x)=1+.
(1)判断函数g(x)的奇偶性
(2)用定义证明函数g(x)在(﹣∞,0)上为减函数.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】方程思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.
【解答】解:(1)由2x﹣1≠0得x≠0,即函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
则g(x)=,
g(﹣x)===﹣=﹣g(x),
则g(x)为奇函数 …
证明:(2)设x1<x2<0,
则g(x1)﹣g(x2)=﹣=>0,
∴g(x1)>g(x2),
∴g(x)在(﹣∞,0)上为减函数.…
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明,利用定义法是解决本题的关键.
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