河北省秦皇岛市闫庄中学高二数学理期末试题含解析

河北省秦皇岛市闫庄中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在ΔABC中，a=7cm，b=10cm，c=6cm，最大内角的余弦值为         （A）      （B）—       （C）        （D） 参考答案： B 2. 已知，则“”是“恒成立”的（   ） A．充分不必要条件          B．必要不充分条件  C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 3. 已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为(     ) A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【专题】计算题． 【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以 ， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夹角为60° 故选C． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题 4. 若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga?lgb的最大值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 参考答案： B 【考点】基本不等式． 【分析】先根据a＞1，b＞1判断lga、lgb的符号，再由基本不等式可求得最小值． 【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0 ∴lga?lgb≤（）2=（）2=1 当且仅当a=b=10时等号成立 即lga?lgb的最大值是1 故选B． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用．在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求． 5. 年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（    ） A．增加80元         B．减少80元       C．增加70元       D．减少70元 参考答案： C 由回归方程，得： 年劳动生产率每年提高1千元时， 工人工资平均增加70元.   6. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（   ） A．    B．      C．        D． 参考答案： C 略 7. 复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于 A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 参考答案： A 8. 一个几何体的三视图如图，其中正视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，则侧视图的面积为（  ） A     B     C     D 参考答案： A 9. 是定义在上单调递减的奇函数，当时，的取值范围是：        A.         B. C.             D. 参考答案： D 10. 直线y＝k(x-2)＋4与曲线y＝1+有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（    ）  A．           B．         C .           D．  参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数若函数为偶函数，则实数a的值为          . 参考答案：       12. 已知等差数列的前n项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论： ①　数列是递减数列；    ②  数列是递减数列；　 ③  数列的最大项是； ④  数列的最小的正数是． 其中正确的结论的个数是___________ 参考答案： ①③④ 13. 已知点P是不等式组所表示的可行域内的一动点，则点P到抛物线的焦点F的距离的最小值是         ． 参考答案： 点P到抛物线的焦点F的距离的最小值为焦点F(0,1)到直线的距离． 14. 某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为　　． 参考答案： 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 【专题】转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求事件的概率． 【解答】解：要求事件的概率为??=， 故答案为：． 【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，属于基础题． 15. 下列说法： ①命题“存在x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“对任意x∈R有x2+1≤3x”。 ②设p，q是简单命题，若“p或q”为假命题，则“p且q”为真命题。 ③若直线3x+4y－3=0和6x + my + 2=0互相平行，则它们间距离为1。 ④已知a，b是异面直线，且c∥a，则c与b是异面直线。 其中正确的有               参考答案： ①② 16. 曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 　　． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；指数函数的图象与性质． 【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【解答】解析：依题意得y′=ex， 因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2， 相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2）， 当x=0时，y=﹣e2 即y=0时，x=1， ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S=×e2×1=． 故答案为：． 17. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且顶点P在底面ABCD的射影为底面的中心，若，棱锥体积为，则侧棱AP与底面ABCD所成的角是____________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？ 参考答案： 解（Ⅰ）解：根据求导法则有， 故，……………………….3分 于是， 列表如下： 2 0 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．…6 （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有．………….12 略 19. （本小题满分12分） 如图，在,已知A(-,0), B(,0), CDAB于D, 的垂心为H，且    （1）求点H的轨迹方程;    （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在F,H之间），且满足，求的取值范围.   参考答案： （1）设点H的坐标为（x,y），C点坐标为(x, m), 则D(x.,0)                 故点H的轨迹方程为               ……………5分 （2）当直线GH斜率存在时， 设直线GH方程为 得 设……………6分 ， ………8分 ……10分          ………11分 又当直线GH斜率不存在，方程为 ……………12分 20. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE； （Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE； （Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求； （Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求． 【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则， 而=0． 所以B1C1⊥CE； （Ⅱ）解：， 设平面B1CE的法向量为， 则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以． 由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1， 故为平面CEC1的一个法向量， 于是=． 从而==． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为． （Ⅲ）解：， 设 0≤λ≤1， 有． 取为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则= =． 于是． 解得．所以． 所以线段AM的长为． 【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题． 21. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： （Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ （Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 参考答案： 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】（Ⅰ）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案； （Ⅱ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案； （Ⅲ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法， 从4名女生中选出2人，有C42=6种选法， 则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种； （Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法， 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种， 则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126﹣35=91种； （Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法， 其中只有男生的选法有C51=5种，只有女生的选法有C41=1种， 则4人中必须既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1=120种． 22. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列 （1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中各项的系数和． 参考答案： 【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质． 【分析】由前三项系数成等差数列建立方程求出n