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河北省石家庄市平山县南甸中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的值域是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C解析: 当是第一象限角时,;当是第二象限角时,;
当是第三象限角时,;当是第四象限角时,
2. 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)( )
A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3
参考答案:
B
略
3. 若函数的定义域是 ,则函数的定义域是( )
A. B. C . D.
参考答案:
A
4. 若,,,,则,,,的大小关系是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
由于函数在上是减函数,故有.
再由,,可得.
故选.
5. 函数y=+2x-5的图像的对称轴是( )
A.直线x=2 B.直线a=-2 C.直线y=2 D.直线x=4
参考答案:
A
略
6. 下列四个集合中,是空集的是( )
A.{?} B.{0} C.{x|x>8或x<4} D.{x∈R|x2+2=0}
参考答案:
D
【考点】空集的定义、性质及运算.
【专题】计算题;规律型.
【分析】直接利用空集的定义与性质判断选项的正误即可.
【解答】解:空集是没有任何元素的集合,A中含有元素?,所以A不正确;
B中含有运算0,所以不正确;
C中集合是无限集,所以不正确;
D中方程无解,所以D是空集,正确.
故选:D.
【点评】本题考查空集的定义,基本知识的考查.
7. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,,,则B1在底面ABC上
的射影H必在
A. 直线AC上 B. 直线BC上 C. 直线AB上 D. △ABC内部
参考答案:
A
8. 在中,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为
参考答案:
B
10. 已知函数,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
由函数 ,可得 ,
所以 ,故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. tan24°+tan36°+tan24°tan36°=________.
参考答案:
12. 与终边相同的角,则
参考答案:
13. (5分)若函数f(x)=1+是奇函数,则m为 .
参考答案:
2
考点: 函数奇偶性的判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题意可得f(﹣1)=﹣f(1),即1+=﹣[1+],化简可得 2++=0,由此解得m的值.
解答: 由于函数f(x)=1+是奇函数,故有f(﹣1)=﹣f(1),即1+=﹣[1+],
化简可得 2++=0,解得m=2,
故答案为 2.
点评: 本题主要考查函数的奇偶性的性质,属于中档题.
14. 50名学生做物理、化学两种实验,每人两种实验各做一次.已知物理实验做得正确的有40人,化学实验做得正确的有31人,两种实验都做错的有5人,则这两种实验都做对的有 人.
参考答案:
26
15. 不查表求值:tan15°+tan30°+tan15°tan30°=
参考答案:
1
略
16. (5分)tan600°的值是 .
参考答案:
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 利用正切函数的周期性,运用诱导公式化简求值即可.
解答: tan600°=tan(180°×3+60°)=tan60°=,
故答案为:.
点评: 本题考查正切函数的周期性及诱导公式的应用,是基础题.
17. 已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
参考答案:
a<c<b
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】根据函数解析式判断出f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x都是单调递增函数,运用函数零点定理判断a,b,c的范围即可得a,b,c的大小.
【解答】解:由于f(﹣1)==<0,f(0)=1>0,
故f(x)=2x+x的零点a∈(﹣1,0).
∵g(2)=0∴g(x)的零点b=2;
∵h()==,h(1)=1>0
∴h(x)的零点c∈(),
由于函数f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x均是定义域上的单调增函数,
∴a<c<b.
故答案为:a<c<b.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (共14分)已知函数 f (x) 对任意x ? R都有 。
(1)求 的值.
(2)数列{an} 满足:,
求数列的前项和.
(3) 若,证明:
参考答案:
(1)由于函数 f (x) 对任意x ? R都有
令得:,所以.(3分)
(2)令,则.
①
又 ②
两式相加得:
。(7分)
∴=(8分)
(10分)
(3)(12分)
(13分)
(14分)
19. 已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)解不等式f(x)>0.
参考答案:
【考点】4N:对数函数的图象与性质.
【分析】(1)对数函数真数大于0,解出不等式即可;
(2)首先求出定义域,然后利用奇偶函数的定义进行判断;
(3)讨论底数a与1的关系得到分式不等式解之.
【解答】解:(1)解,得﹣1<x<1;
∴函数的定义域为(﹣1,1);
(2)∵函数的定义域关于原点对称;
且f(﹣x)=loga=log=﹣log=﹣f(x);
∴f(x)为奇函数;
(3)∵f(x)>0,①当0<a<1时,0<;
解得0<x<1;
②当a>1时,;
解得﹣1<x<0.
20. 为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数y与月x份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?
参考答案:
(1)f(x)=200sin(x)+300;(2)只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.
试题分析:(1)根据①,可知函数的周期是12;根据②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)﹣f(2)=400;根据③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,由此可得函数解析式;
(2)由条件知,200sin(x)+300≥400,结合x∈N*,1≤x≤12,即可得到结论.
解:(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π)
根据①,可知函数的周期是12,∴=12,∴ω=;
根据②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)﹣f(2)=400,故该函数的振幅为200;
根据③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,∴f(8)=500
∴,∴
∵f(2)最小,f(8)最大,
∴sin(2×+φ)=﹣1,sin(8×+φ)=1,
∵0<|φ|<π,
∴φ=
∴f(x)=200sin(x)+300;
(2)由条件知,200sin(x)+300≥400,化简可得sin(x),
∴2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
∴12k+6≤x≤12k+10,k∈Z
∵x∈N*,1≤x≤12
∴x=6,7,8,9,10
∴只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.
考点:已知三角函数模型的应用问题.
21. 如图,在等腰梯形OABC中,.直线(t>0)由点O向点C移动,至点C完毕,记扫描梯形时所得直线左侧的图形面积为.试求的解析式,并画出的图像.
参考答案:
解:由题意知函数的定义域为(0,7],……..1分
正确作图…………………………………………….12分
22. 在等差数列中,已知,,求
参考答案:
【解法一】:∵,,则 …………5分
∴ ……10分……14分
【解法二】:
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