河北省石家庄市邢郭乡中学2023年高二数学文测试题含解析

河北省石家庄市邢郭乡中学2023年高二数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是虚数单位，复数的模为（      ）    A．     B．       C．   D． 参考答案： D 略 2. 点的内部，则的取值范围是（   ） A．     B．       C.    D. 参考答案： A 3. 如果命题P（n）对于n=k（k∈N*）时成立，那么它对n=k+2也成立．若P（n）对于n=2时成立，则下列结论正确的是(     ) A．P（n）对所有正整数n成立 B．P（n）对所有正偶数n成立 C．P（n）对所有正奇数n成立 D．P（n）对所有大于1的正整数n成立 参考答案： B 【考点】数学归纳法． 【专题】演绎法；推理和证明． 【分析】利用假设，k=2，即有n为正偶数均成立，即可得结论． 【解答】解：命题P（n）对于n=k（k∈N*）时成立，那么它对n=k+2也成立． 若P（n）对于n=2时成立，则对n=4，6，8，…，2m也成立， 即为对P（n）对所有正偶数n成立， 故选B． 【点评】本题主要考查数学归纳法的运用，关键是正确利用归纳假设． 4. 已知i是虚数单位，则复数位于复平面内第几象限（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： B 【分析】 整理可得：，该复数对应的点在第二象限，问题得解。 【详解】由可得：， 该复数对应的点在第二象限. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数对应复平面内的点知识，属于基础题。   5. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A．＝                       B．＋＝ C．－＝                 D．＋＝ 参考答案： C 6. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，别且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是   D   A   B   C   参考答案： C 7. 复数=　　　 A.　；　 　　 B. ；　　　C. ；　　　D. 参考答案： A 略 8. 已知垂直时k值为        (   ) A．17            B．18             C．19             D．20 参考答案： C 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，则       B．，则 C．，则       D．，则 参考答案： B 略 10. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （    ） A．　　　     B．　　     　C．　　　   　D． 参考答案： C ,故选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，若， 则             ． 参考答案： 略 12. 过点 ，且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程为________. 参考答案： ＋＝1 椭圆 的焦点（0，±4）则所求椭圆的c=4， 设椭圆方程为 ，则有a2-b2=16，① 再代入点（ ），得 ② 由①②解得，a2=20，b2=4． 则所求椭圆方程为 .   13. 已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为　　． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】三角函数的求值． 【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值． 【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D， 由于G为重心，故D为中点， ∵AG⊥BG，∴DG=AB， 由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB， 由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC， BC2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos∠BDC， ∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD， ∴AC2+BC2=2AD2+2CD2， ∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2， 又∵+=， ∴+=， 则λ=======． 故答案为： 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 14. 若，则的值是             ; 参考答案： 2 15. 已知函数，则   ▲     参考答案： 4 16. ____． 参考答案： 8π 【分析】 分别求得和的值，相加求得表达式的结果. 【详解】由于表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，故..故原式. 【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题. 17. 命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是________________. 该否命题的真假性是________________. (填“真”或“假”) 参考答案： 命题“若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数”,假 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 哈三中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（元） 90 84 83 80 75 68 （I）求回归直线方程;（其中） （II）预计今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关系，且班刊的成本是元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元? 参考答案： (Ⅰ)   (Ⅱ) 元获得最大利润 19. 某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天的销售量，统计结果如下： 日销售量 100 150 天数 30 20 频率 若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中： (1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)； (2)已知每件该商品的利润为20元，用X表示该商品某两天销售的利润和(单位：元)，求X的分布列和数学期望． 参考答案： (1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率 ． 5分 (2) X的可能取值为4000,5000,6000． ，， ． 8分 所以X的分布列为 X 4000 5000 6000 P 数学期望（元）． 12分 20. (12分) 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x米，总费用为y(单位：元). （1）将y表示为x的函数;    （2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小， 并求出最小总费用. 参考答案： （1）设矩形的另一边长为a m 则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ ……………6分…..         (2)……….8分 当且仅当225x=，即x=24m时等号成立…………..11分 ∴当x=24m时，修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元…….12分 21. 已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R． ①若A是空集，求a的范围； ②若A中只有一个元素，求a的值； ③若A中至多只有一个元素，求a的范围． 参考答案： 【考点】集合中元素个数的最值． 【专题】计算题；集合． 【分析】①A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案． ②若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值． ③若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由①②的结论，将①②中a的取值并进来即可得到答案． 【解答】解：①若A是空集，则方程ax2﹣3x+2=0无解 此时△=9﹣8a＜0，即a＞ ②若A中只有一个元素，则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根 当a=0时方程为一元一次方程，满足条件 当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a= ∴a=0或a=； ③若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素 由①②得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥． 【点评】本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，同时考查了转化的思想，属于基础题．根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键． 22. (本小题满分12分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC． （1）求cosA的值； （2）若，求边c的值． 参考答案： 解：（1）由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC， 有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a， 即cosA＝. （2）由cosA＝.得sinA＝ 则， 代入 得，从而的其中 . = 则由正弦定理得.