河北省石家庄市龙岗高级乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省石家庄市龙岗高级乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于 A.              B.              C.           D.  参考答案： 2. 在边长为的正三角形中，设，，若， 则的值为（   ） A、      B、      C、      D、 参考答案： D 3. 《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．11 参考答案： A 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可． 【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1， 第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2， 第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3， 第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4， 第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93， 跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4， 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题． 4. （多选题）三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（    ） A. 是钝角三角形 B. 此球的表面积等于5π C. BC⊥平面PAC D. 三棱锥A?PBC的体积为 参考答案： BC 【分析】 根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A，找到外接球的球心求出半径即可判断B，根据线面垂直判定定理可判断C，根据椎体的体积计算公式可判断D. 【详解】如图， 在底面三角形ABC中，由，，， 利用余弦定理可得：， ∴，即， 由于底面ABC，∴，， ∵，∴平面PAC，故C正确； ∴， 由于，即为锐角， ∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误； 取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1， 设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则， 即三棱锥的外接球的半径为， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确； ，故D错误； 故选：BC. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题. 5. 抛物线y＝4的焦点到直线y＝x的距离为   （A）       （B）          （C）          （D） 参考答案： C 略 6. 如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为 A.   B.   C.   D. 参考答案： A 7. 函数f（x）＝为奇函数，且在（0，＋）上单调递增，则a等于（　　） 　A、0　　B、－1　　C、1　　D、±1 参考答案： C 8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（   ） A．         B．       C.          D． 参考答案： B 9. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．  参考答案： C 10. 已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（　　） A． B．﹣ C．﹣2 D．2 参考答案： C 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【分析】设指数函数y=f（x）=ax（a＞0，且a≠1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a，即可得出． 【解答】解：设指数函数y=f（x）=ax（a＞0，且a≠1，为常数）， 把点（，）代入可得=，解得a=． ∴， 则log2f（2）==﹣2． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f(x)＝ln的图象只可能是__________ 参考答案： ① 12. 设,关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列,若,则的取值范围是          . 参考答案： 13. 设是R上的奇函数,且，当x>0时，，则不等式的解集为          参考答案： 14. 已知函数 则函数的零点个数为      个． 参考答案： 2 由＝0，得：， 画出与的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数：2。 15. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为      ． 参考答案： 16. 已知等差数列，其前项和为，=2，则    参考答案： 17. 设O、A、B、C是平面上四点，且，，则______________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品的质量采用综合指标值进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图： （1）估计该新型窑炉烧制的产品为二等品的概率； （2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：   一等品 二等品 三等品 销售率 单件售价 20元 16元 12元 根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件： ①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于6； ②单件平均利润值不低于4元. 若该新型窑炉烧制产品的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件. 参考答案： 解法一： （1）记为事件“该新型窑炉烧制的产品为二等品”． 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为二等品的频率为， 故事件的概率估计值为． （2）①先分析该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数： 由直方图可知，综合指标值的平均数 ． 该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数的估计值， 故满足认购条件①． ②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值： 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，． 故件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为件，件，件． 一等品的销售总利润为元； 二等品的销售总利润为元； 三等品的销售总利润为元．……11分 故件产品的单件平均利润值的估计值为元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． 解法二： （1）同解法一． （2）①同解法一． ②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值： 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，． 故件产品的单件平均利润值的估计值为       元，有满足认购条件②． 综上所述，该新型窑炉达到认购条件． 19. （本小题满分14分） 在锐角△ABC中，已知：AB=5，AC=6，O为△ABC外接圆的圆心。 （1）若S△ABC=12，求BC边的长； （2）求的值。 参考答案： 略 20. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （I）若，解不等式； （II）如果，求的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）当时， 由得 当时，不等式可化为，其解集为 当时，不等式化为，不可能成立，其解集为； 当时，不等式化为，其解集为 综上所述，的解集为                        （5分） （Ⅱ），∴要成立， 则，， 即的取值范围是。                                   （10分） 21. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点． （1）求证：PH⊥平面ABCD； （2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明PH⊥平面ABCD． （2）过点O作OZ∥PH，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）连结OP，如图所示， ∵PB=PD，∴OP⊥BD， 在菱形ABCD中，AC⊥BD， 又∵AC∩OP=O，∴BD⊥平面PAC， 又PH?平面PAC，∴BD⊥PH， 在Rt△POB中，OB=1，PB=2，∴OP=， 又PC=，H为OC的中点，∴PH⊥平面ABCD． 解：（2）过点O作OZ∥PH，则OZ⊥平面ABCD， 如图，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（），B（0，1，0），C（﹣，0，0），P（﹣，0，），E（，0，）， ∴=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（，0，）， 设平面PAB的法向量=（x，y，z），则， 令x=1，则=（1，）， ∴cos＜＞===． ∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为． 【点评】本题考查垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 22. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：   喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635   参考答案： 【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．I4   K2 【答案解析】(1) 有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2) . 解析：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}， 其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a