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河北省石家庄市龙岗高级乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于
A. B. C. D.
参考答案:
2. 在边长为的正三角形中,设,,若,
则的值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
3. 《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学的智慧,其中第六章“均输”中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出的m的值为35,则输入的a的值为( )
A.4 B.5 C.7 D.11
参考答案:
A
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟程序框图的运行过程,求出运算结果即可.
【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,
第一次循环后m=2(2a﹣3)﹣3=4a﹣9,i=2,
第二次循环后m=2(4a﹣9)﹣3=8a﹣21,i=3,
第三次循环后m=2(8a﹣21)﹣3=16a﹣45,i=4,
第四次循环后m=2(16a﹣45)﹣3=32a﹣93,
跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,
故选:A
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答案,是基础题.
4. (多选题)三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上,PC⊥底面ABC,若,,且,则下列说法正确的是( )
A. 是钝角三角形 B. 此球的表面积等于5π
C. BC⊥平面PAC D. 三棱锥A?PBC的体积为
参考答案:
BC
【分析】
根据余弦定理可得底面为直角三角形,计算出三棱锥的棱长即可判断A,找到外接球的球心求出半径即可判断B,根据线面垂直判定定理可判断C,根据椎体的体积计算公式可判断D.
【详解】如图,
在底面三角形ABC中,由,,,
利用余弦定理可得:,
∴,即,
由于底面ABC,∴,,
∵,∴平面PAC,故C正确;
∴,
由于,即为锐角,
∴是顶角为锐角的等腰三角形,故A错误;
取D为AB中点,则D为的外心,可得三角形外接圆的半径为1,
设三棱锥的外接球的球心为O,连接OP,则,
即三棱锥的外接球的半径为,
∴三棱锥球的外接球的表面积等于,故B正确;
,故D错误;
故选:BC.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定,椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等,属于中档题.
5. 抛物线y=4的焦点到直线y=x的距离为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
6. 如图,已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,点E为线段CD1的中点,则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 函数f(x)=为奇函数,且在(0,+)上单调递增,则a等于( )
A、0 B、-1 C、1 D、±1
参考答案:
C
8. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 已知函数(,),其图像与直线相邻两个交点的距离为,若对于任意的恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知指数函数y=f(x)的图象过点(,),则log2f(2)的值为( )
A. B.﹣ C.﹣2 D.2
参考答案:
C
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】设指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1,为常数),把点(,)代入可得=,解得a,即可得出.
【解答】解:设指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1,为常数),
把点(,)代入可得=,解得a=.
∴,
则log2f(2)==﹣2.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=ln的图象只可能是__________
参考答案:
①
12. 设,关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列,若,则的取值范围是 .
参考答案:
13. 设是R上的奇函数,且,当x>0时,,则不等式的解集为
参考答案:
14. 已知函数 则函数的零点个数为 个.
参考答案:
2
由=0,得:,
画出与的图象,可知,它们有2个交点,所以零点个数:2。
15. 从甲,乙,丙,丁4个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 .
参考答案:
16. 已知等差数列,其前项和为,=2,则
参考答案:
17. 设O、A、B、C是平面上四点,且,,则______________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 德化瓷器是泉州的一张名片,已知瓷器产品的质量采用综合指标值进行衡量,为一等品;为二等品;为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益,在某供应商提供的窑炉中任选一个试用,烧制了一批产品并统计相关数据,得到下面的频率分布直方图:
(1)估计该新型窑炉烧制的产品为二等品的概率;
(2)根据陶瓷厂的记录,产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比值)及单件售价情况如下:
一等品
二等品
三等品
销售率
单件售价
20元
16元
12元
根据以往的销售方案,未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是,该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件:
①综合指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不小于6;
②单件平均利润值不低于4元.
若该新型窑炉烧制产品的成本为10元/件,月产量为2000件,在销售方案不变的情况下,根据以上图表数据,分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.
参考答案:
解法一:
(1)记为事件“该新型窑炉烧制的产品为二等品”.
由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品为二等品的频率为,
故事件的概率估计值为.
(2)①先分析该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数:
由直方图可知,综合指标值的平均数
.
该窑炉烧制出的产品的综合指标值的平均数的估计值,
故满足认购条件①.
②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:
由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为,,.
故件产品中,一、二、三等品的件数估计值分别为件,件,件.
一等品的销售总利润为元;
二等品的销售总利润为元;
三等品的销售总利润为元.……11分
故件产品的单件平均利润值的估计值为元,
有满足认购条件②,综上所述,该新型窑炉达到认购条件.
解法二:
(1)同解法一.
(2)①同解法一.
②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:
由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为,,.
故件产品的单件平均利润值的估计值为
元,有满足认购条件②.
综上所述,该新型窑炉达到认购条件.
19. (本小题满分14分)
在锐角△ABC中,已知:AB=5,AC=6,O为△ABC外接圆的圆心。
(1)若S△ABC=12,求BC边的长;
(2)求的值。
参考答案:
略
20. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)若,解不等式;
(II)如果,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,
由得
当时,不等式可化为,其解集为
当时,不等式化为,不可能成立,其解集为;
当时,不等式化为,其解集为
综上所述,的解集为 (5分)
(Ⅱ),∴要成立,
则,,
即的取值范围是。 (10分)
21. 如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC=,AC与BD交于O点,E,H分别为PA,OC的中点.
(1)求证:PH⊥平面ABCD;
(2)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;转化思想;向量法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)连结OP,推导出OP⊥BD,AC⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明PH⊥平面ABCD.
(2)过点O作OZ∥PH,以O为原点,OA、OB、OZ所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值.
【解答】证明:(1)连结OP,如图所示,
∵PB=PD,∴OP⊥BD,
在菱形ABCD中,AC⊥BD,
又∵AC∩OP=O,∴BD⊥平面PAC,
又PH?平面PAC,∴BD⊥PH,
在Rt△POB中,OB=1,PB=2,∴OP=,
又PC=,H为OC的中点,∴PH⊥平面ABCD.
解:(2)过点O作OZ∥PH,则OZ⊥平面ABCD,
如图,以O为原点,OA、OB、OZ所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(),B(0,1,0),C(﹣,0,0),P(﹣,0,),E(,0,),
∴=(﹣,1,0),=(﹣,0,),=(,0,),
设平面PAB的法向量=(x,y,z),则,
令x=1,则=(1,),
∴cos<>===.
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为.
【点评】本题考查垂直的证明,考查线面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
22. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
参考答案:
【知识点】独立性检验的应用;古典概型及其概率计算公式.I4 K2
【答案解析】(1) 有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2) .
解析:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)},
其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.
Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a
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