2020年高考数学试卷-(卷Ⅲ理与答案)

20202020 年高考数学试卷（卷理）年高考数学试卷（卷理）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1已知集合A(x,y)|x,yN N*,y x，B(x,y)|x y 8，则AB中元素的个数为()A2B3C4D62复数113i的虚部是()A310B110C110D31043在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情形中，i1对应样本的标准差最大的一组是()Ap1 p4 0.1,p2 p3 0.4Bp1 p4 0.4,p2 p3 0.1Cp1 p4 0.2,p2 p3 0.3Dp1 p4 0.3,p2 p3 0.24Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t 的单位：天）的Logistic 模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中K 为最大确诊病例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln19 3)()A60B63C66D695设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：y2 2px(p 0)交于 D，E 两点，若ODOE，则 C 的焦点坐标为()A(14,0)B(12,0)C(1,0)D(2,0)6已知向量 a a，b b 满足|a a|5，|b b|6，a ab b6，则cos a a,a a b b=()A31191935B35C1735D357在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=()A1B19C132D238下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A6+4 2B4+4 2C6+2 3D4+2 39已知 2tantan(+4)=7，则 tan=()A2B1C1D210若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为()Ay=2x+1By=2x+12Cy=12x+1Dy=112x+211设双曲线C：x2y2a2b21（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=()A1B2C4D812已知 5584，13485设 a=log53，b=log85，c=log138，则()AabcBbacCbcaDca400空气质量好空气质量不好2附：K2=nad bcP（K2k）0.0500.0100.001a bc d)acbd，k3.8416.635 10.82819（12 分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE ED1，BF 2FB1（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角A EF A1的正弦值20（12 分）已知椭圆C:x225y215m21(0 m 5)的离心率为4，A，B分别为C的左、右顶点（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BP BQ，求APQ的面积21（12 分）设函数f(x)x3bx c，曲线y f(x)在点(，f()处的切线与 y 轴垂直（1）求 b（2）若f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 1（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 2 t t在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数且 t1），C 与坐标轴交于 A、B2y 2 3t t2121223选修 45：不等式选讲（10 分）设 a，b，cR R，abc 0，abc1（1）证明：abbcca0；（2）用maxa,b,c表示 a，b，c 的最大值，证明：maxa,b,c34两点（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程20202020 年高考数学试卷（卷理）答案年高考数学试卷（卷理）答案1C2D3B4C5B6D7A8C9D10D11A12A1371424015231617解：（1）a2 5,a3 7,猜想an 2n 1,由已知可得an1(2n 3)3an(2n 1)，an(2n 1)3an1(2n 1)，a25 3(a13).因为a1 3，所以an 2n 1.（2）由（1）得2nan(2n 1)2n，所以Sn 32522 723(2n 1)2n.从而2S2n 32 523 724(2n1)2n1.得S2n 32 22 223 22n(2n1)2n1，所以S1n(2n 1)2n 2.18解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100203003550045)350（3）根据所给数据，可得22列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2100(338 2237)255457030 5.820由于5.820 3.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关19解：设AB a，AD b，AA1 c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1 xyz（1）连结C1F，则CA(a,b,c)，E(a,0,2c)，F(0,b,1c)，EA(0,b,1c)，C11(0,0,0)，3331F (0,b,3c)，得EA C1F因此EAC1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内（2）由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，AE (0,1,1)，AF (2,0,2)，A1E (0,1,2)，A1F (2,0,1)设n n1(x,y,z)为平面AEF的法向量，则n n1 AE 0,即y z 0,n n1 AF 0,2x 2z 0,可取n n1(1,1,1)设n n2为平面A1EF的法向量，则n n2 A1E 0,同理可取n n1n n2(2 A1F 0,2,2,1)因为cosn nn n1n n271,n n2|n n|n n，所以二面角A EF A421的正弦值为1|2|7720解：（1）由题设可得25m21554，得m22516，x2y2所以C的方程为25251.16（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ 0，由题意知yP 0，由已知可得B(5,0)，直线 BP 的方程为y 1y(x5)，所以|BP|y2BQ|1 y2P1 yQ，|Q，Q因为|BP|BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线 BP 的方程得yQ 2或 8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).|PQ11|10，直线PQ11的方程为y 13x，点A(5,0)到直线PQ11的距离为102，故APQ11的面积为12102 10 52.|PQ22|130，直线P2Q2的方程为y 79x103，点A到直线P2Q2的距离为13026，故AP2Q2的面积为1213026 130 52.综上，APQ的面积为52.21解：（1）f(x)3x2b依题意得f(1)0，即324b 0.故b 34（2）由（1）知f(x)x33x c，f(x)3x2344.令f(x)0，解得x 112或x 2.f(x)与f(x)的情况为：x(，1)112(122，12)2(12，+)f(x)+00+f(x)c14c14因为f(1)f(12)c 14，所以当c 14时，f(x)只有大于1的零点.因为f(1)f(1)c 1，所以当c 1244时，f（x）只有小于1的零点由题设可知1 c 144，当c=14时，f(x)只有两个零点12和1.当c=14时，f(x)只有两个零点1和12.当14 c 14时，f(x)有三个等点x1，x2，x3，且x11 111(1,2)，x2(2,2)，x3(2,1)综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.22解：（1）因为 t1，由2t t2 0得t 2，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）；由23t t2 0得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为(4,0)故|AB|4 10（2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为xy4121，将x cos，y sin代入，得直线 AB 的极坐标方程3cossin12 023解：（1）由题设可知，a，b 均不为零，所以ab bc ca 1(a bc)2(a2b22 c2)1(a2b22 c2)0.a，b，c=a，因为abc 1,a (bc)，所以a0，b0，c0.由bc(bc)22）不妨设maxa3（4，可得abc4，故a 34，所以maxa,b,c34.