二项式定理精品

各位教师，各位教师，同学，同学，我精我精心汇总，好好利用心汇总，好好利用二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州 22 中学高洪武 325000二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。题型一：求二项展开式1“(a b)n”型的展开式例 1求(3 x 1x4)4的展开式；解：原式=(3x 1(3x 1)4)=2xx=101234432(3x)(3x)(3x)(3x)C4C4C4C4x2C41432=2(81x 84x 54x 12x 1)x121254=81x 84x xx2小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2“(a b)n”型的展开式例 2求(3 x 1x)4的展开式；1x1x分析：解决此题，只需要把(3 x)4改写成3 x()4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例 3计算13解：原式=0nnCn 9Cn 27Cn.(1)3cn；1233123n123nnnCnCn(3)Cn(3)Cn(3).Cn(3)(13)(2)小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。题型二：求二项展开式的特定项1求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例 4（03 全国）(x 解：Tr119)展开式中x9的系数是；2x1111rrrC9(x2)9r()r=C9x182r()r()r=C9()rx183x2x2x229令183x 9,则r 3，从而可以得到x的系数为：132121()，填C92223（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例 5（02 全国）（x21)(x 2)7的展开式中，x项的系数是；解：在展开式中，x的来源有：第一个因式中取出x，则第二个因式必出x，其系数为3233C67(2)6；4 第一个因式中取出 1，则第二个因式中必出x，其系数为644(2)C7x3的系数应为：C7(2)6C7(2)41008,填1008。（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例 6（04 安徽改编）(x 1 2)3的展开式中，常数项是；x1(x 1)23(x 1)63 解：(x 2)3xxxC上述式子展开后常数项只有一项333x(1)6x3，即 20本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。2求中间项例 7（00 京改编）求（x 13x)10的展开式的中间项；1x解：Tr110rC10(x)(3r1x)r,展开式的中间项为C10(x)5(35)5即：252x。当n为奇数时，(a b)的展开式的中间项是n56Cn12nan12bn12和Cn12nan12bn12；当n为偶数时，(a b)的展开式的中间项是3求有理项例 8（00 京改编）求(x nCn2na b。n2n213x)10的展开式中有理项共有项；4r3解：Tr1Cr10(r)10r(31x)C10(1)xrrr10当r 0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4 项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。4求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例 9（00 上海）在二项式(x 1)11的展开式中，系数最小的项的系数是；解：Tr1C11rrx(1)11rr要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r 5，从而可知最小项的系数为C511(1)5 462（2）一般的系数最大或最小问题例 10求(x 124x)8展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有TkTk1r1r1又TrC8.2，那么有T Tk1kk1k1k2C8.2k2C8.2k1k1kkC8.2C8.28!8!2(k 1)!.(9 K)!(K 2)!.(10 K)!即8!8!2 K!(8 K)!(K 1)!.(9 K)!21K 1K 221 9 KK解得3 k 4，系数最大的项为第3 项T3 7x和第 4 项T4 7x。（3）系数绝对值最大的项例 11在（x y)7的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“(a b)n”型转化为(a b)n型来处理，故此答案为第 4 项3425x yx，和第 5 项C7C7y。455272题型三：利用“赋值法”及二项式性质3 求部分项系数，二项式系数和例 12（99 全国）若(2x3)4 a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0 a2 a4)2(a1 a3)2的值为；解：(2x3)4 a0a1xa2x2a3x3a4x4令x 1，有(23)4 a0 a1 a2 a3 a4，令x 1，有(23)4(a0 a2 a4)(a1 a3)故原式=(a0 a1 a2 a3 a4).(a0 a2 a4)(a1 a3)=(23)4.(23)4=(1)1例 13（04 天津）若(12x)2004 a0 a1x a2x2.2004x2004，则(a0 a1)(a0 a2).(a0 a2004)；解：(12x)20044 a0 a1x a2x2.2004x2004，2004令x 1，有(12)a0 a1 a2.a200412004令x 0，有(10)a01故原式=(a0 a1 a2.a2004)2003a0=1 2003 2004在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1,1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。例 14设(2x 1)6 a6x6 a5x5.a1x a0，则a0 a1 a2.a6；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：Tr16rr(2x)(1)C6ra0 a1 a2.a6 a0a1 a2a3 a4a5 a6=(a0 a2 a4 a6)(a1 a3 a5)=0题型四：利用二项式定理求近似值例 15求0.998的近似值，使误差小于0.001；分析：因为0.998=(10.002)6，故可以用二项式定理展开计算。解：0.998=(10.002)6=16.(0.002)115.(0.002)2.(0.002)6T322.(0.002)15(0.002)0.00006 0.001，C62666且第 3 项以后的绝对值都小于0.001，从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。660.998=(10.002)1 6(0.002)=1 0.012 0.988n小结：由(1 x)12nx x.xCnCnCn，当x的绝对值与 1 相比很小且12n因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，n很大时，x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，因此可以用近似计算公式：(1 x)1 nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1 x)1 nx nnn(n 1)2x。2利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。题型五：利用二项式定理证明整除问题例 16（02 潍坊模拟）求证：511能被 7 整除。证明：511=(49 2)511=51504925051C5149C51.49.2 C51.49.2.C51.49.2C51.2101250515151=49P+2511（P N）又2511(23)171=（7+1）=0171121617171615C17.7C17.7C17.7.C17.7 C171=7Q（Q N）51511 7P 7Q 7(P Q)511能被 7 整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。51