任意角和弧度制及任意角的三角函数[高考数学总复习][高中数学课时训]

任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数基础自测090的角以上都不对1.A=小于 90的角，B=第一象限的角，则 AB=（填序号）.小于 90的角第一象限的角答案答案2.将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角的弧度数是 .答案答案323.已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm，则扇形的中心角的弧度数是 .答案答案 1 或 44.已知角终边上一点 P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则 sin=.答案答案 -cos25.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且 cos=答案答案例例 1 1若是第二象限的角，试分别确定 2,解解是第二象限的角，k360+90k360+180（kZ Z）.（1）2k360+18022k360+360（kZ Z），2是第三或第四象限的角，或角的终边在 y 轴的非正半轴上.（2）k180+45当 k=2n（nZ Z）时，n360+452x,则 sin=.4104,的终边所在位置.22k180+90（kZ Z），2n360+90；2当 k=2n+1（nZ Z）时，n360+225n360+270.2是第一或第三象限的角.2k120+60（kZ Z），3（3）k120+30当 k=3n（nZ Z）时，n360+30n360+60；3当 k=3n+1（nZ Z）时，n360+150n360+180；3当 k=3n+2（nZ Z）时，n360+270n360+300.3是第一或第二或第四象限的角.3例例 2 2（1）一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解解（1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是 r,所以扇形的周长是 2r+r.依题意，得 2r+r=r,180=-2=(-2)1.14257.3065.446526,扇形的面积为 S=1212r=（-2）r.22（2）设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l+2r=20,即 l=20-2r(0r10)扇形的面积 S=S=1lr，将代入，得2122(20-2r)r=-r+10r=-(r-5)+25,2所以当且仅当 r=5 时，S 有最大值 25.此时l=20-25=10,=l=2.r所以当=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例例 3 3（14 分）已知角的终边在直线 3x+4y=0 上，求 sin,cos,tan的值.解解角的终边在直线 3x+4y=0 上，在角的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t0),2 分则 x=4t,y=-3t,r=x2 y2(4t)2(3t)25t,4 分当 t0 时，r=5t,sin=y3t3x4t4,cos=,r5t5r5t5tan=yx3t4t 34;8 分当 t0 时，r=-5t,sin=yr3t5t35,cos=xr4t5t 45,tan=yx3t4t 34.12 分综上可知，t0 时，sin=35,cos=45,tan=34;t0 时，sin=35,cos=-45,tan=34.14 分例例 4 4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin32;(2)cos12.解解（1）作直线 y=32交单位圆于 A、B 两点，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+32k+23，kZ Z .（2）作直线 x=12交单位圆于 C、D 两点，连结OC、OD，则OC 与 OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+232k+43，kZ Z .1.已知是第三象限角，问3是哪个象限的角？解解是第三象限角，180+k360270+k360（kZ Z），60+k120390+k120.当 k=3m(mZ Z)时，可得60+m360390+m360（mZ Z）.故3的终边在第一象限.当 k=3m+1(mZ Z)时，可得180+m3603210+m360（mZ Z).故3的终边在第三象限.当 k=3m+2（mZ Z）时，可得300+m3603330+m360（mZ Z）.故3的终边在第四象限.综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.2.已知扇形 OAB 的圆心角为 120，半径长为 6,（1）求的弧长；（2）求弓形 OAB 的面积.解解（1）=120=23rad，r=6，的弧长为 l=236=4.(2)S1扇形 OAB=2lr=1246=12，SABO=12r2sin23=126232=93，S弓形 OAB=S扇形 OAB-SABO=12-93.3.已知角的终边在 y 轴上，求 sin、cos、tan的值.解解角的终边在 y 轴上，可在的终边上任取一点（0,t)(t0),即 x=0，y=t.r=x2 y2=02t2=|t|.当 t0 时，r=t,sin=yr=tt=1,cos=x0yr=t=0,tan=x不存在；当 t0 时，r=-t，sin=yr=tt=-1,cos=x0r=t=0,tan=yx不存在.综上可知：sin=1,cos=0,tan不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y=2cos x 1；（2）y=lg(3-4sin2x）.解解（1）2cosx-10，cosx12.由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).x2k,2k（kZ Z）.33（2）3-4sin x0,sin x223,4-33sinx.22利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-一、填空题一、填空题1.已知 costan0,那么角是第象限角.答案答案三或四2.若 0 x答案答案3.与 610角终边相同的角表示为 .答案答案k360+250(kZ Z)4.已知（,k+）（kZ Z).3342，则 sinxx（用“”,“”或“=”填空）.221sin2）1,则所在象限为第象限.2答案答案一或三5.已知点 P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第象限.答案答案二 6.已知,且 sin+cos=a，其中a(0，1），则关于tan的值，以下四个答案中，可能正确22的是（填序号）.-3答案答案7.已知角的终边落在直线 y=-3x(x0)上，则答案答案 28.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t=0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数，则 d=,其中 t0,60.答案答案 10sin二、解答题二、解答题9.已知 sin=3a 11a,cos=,若是第二象限角，求实数 a 的值.1a1 a3 或13-13-3 或-13sinsincoscos .t60解解是第二象限角，sin0,cos0,1a0 sin111a，解得 0a.31 cos3a1 01a又sin+cos=1,1a 3a1 1,1a1a2222解得 a=11或 a=1(舍去），故实数 a 的值为.9910.（1）已知扇形的周长为 10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解解设扇形半径为 R，中心角为，所对的弧长为 l.12R 4,（1）依题意，得2R2R 10,2-17+8=0,=8 或82,舍去,=21.21.22(2)扇形的周长为 40,R+2R=40，1R 2R 1112S=lR=R=R2R100.22244当且仅当R=2R,即 R=10,=2 时面积取得最大值，最大值为 100.sin11.设为第三象限角，试判断2的符号.2cos解解为第三象限角，2k+2k+k+3(kZ Z),222 k3(kZ Z).4当 k=2n(nZ Z)时，2n+此时23 2n,24在第二象限.20,cos0.22sinsin因此20.2当 k=2n+1(nZ Z)时，3(2n+1)+(2n+1)+(nZ Z),22437即 2n+2n+(nZ Z)224cos此时在第四象限.2sin20,sin0,cos0,因此22cos2sin20.综上可知：cos212.角终边上的点 P 与 A（a，2a）关于 x 轴对称（a0），角终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称，求sincos+sincos+tantan的值.解解由题意得，点 P 的坐标为（a,-2a)，点 Q 的坐标为（2a，a）.sin=cos=2aa (2a)aa (2a)22222a5aa5a22,tan=sin=cos=2a 2,aa(2a)a2a(2a)a2222a5a2a5a22,tan=a1,2a2a5a2a5a22a5a21=-1.2故有 sincos+sincos+tantan=2a5a2(2)