人教版高中数学必修一教学讲义人教版高中数学必修一教学讲义
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《立体几何初步》全章《立体几何初步》全章复习复习
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教教学学内内容容
《立体几何初步》全章《立体几何初步》全章复习复习
【知识网络】【知识网络】
【要点梳理】【要点梳理】
知识点一：空间几何体的结构与特征知识点一：空间几何体的结构与特征
本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④
球体．
柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正
六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和
圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱 (母线)，外接圆半径
(底面半径)组成的直角三角形．
空间几何体的三视图： 主视图：它能反映物体的高度和长度； 左视图： 它能反映物体的高度和宽度； 俯视图：
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它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是
经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题， 要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元
素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．
与几何体的侧面积和体积有关的计算问题， 基本概念和公式要熟练， 计算要准确， 重视方程的思想和割补法、
等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．
知识点二：平面基本性质知识点二：平面基本性质
刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直
线是否在平面内的依据．
公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．
公理 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定
两个平面交线位置的依据．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．
知识点三：空间的平行与垂直关系知识点三：空间的平行与垂直关系
理解和熟练应用空间中线面平行、 垂直的有关性质与判定定理， 是解决有关计算和证明的金钥匙． 归纳出以
下判定定理：
( (1 1) )空间中的平行关系空间中的平行关系
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线就和两平面的交线平行．
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
( (2 2) )空间中的垂直关系空间中的垂直关系
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
解决空间问题的重要思想方法： 等价转化——化空间问题为平面问题． 空间平行、垂直关系证明的基本思想
方法——转化与联系，如图所示．
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【典型例题】【典型例题】
类型一：空间几何体的三视图类型一：空间几何体的三视图
例 1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH,下半部分是长
方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线 BD平面 PEG
【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH，下半部分是长方体 ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图
全等．
（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm 的正方形，长方体的高为 20cm，棱锥高为 60cm，代入棱柱和棱锥
体积公式，易得结果．
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
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（２）该安全标识墩的体积为：V VPEFGHVABCDEFGH
1
4026040220 3200032000 64000
cm2
3
（３）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.
由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH ,PO HF
又EG HFHF 平面 PEG
又BDHFBD 平面 PEG；
【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，
处理的关键是准确判断空间几何体的形状， 一般规律是这样的： 如果三视图均为三角形， 则该几何体必为三棱锥；
如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视
图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两
个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形
和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和
一个圆，则几何体为圆台．
举一反三：举一反三：
【变式 1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.
【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别
为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底
面积,即为2(344131)2112 38
【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、 柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容
易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面
积.
例 2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出
（单位：cm）。
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（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC'，证明：BC'∥面 EFG。
A A
E E
D D
B B
C C
4 4
D'D'
G G
F F
B'B'
C'C'
2 2
6 6
2 2
2 2
4 4
正视图正视图侧视图侧视图
【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V
长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积；
（3）在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，连接 AD′，在所给直观图中连接 BC′，证明 EG∥BC′，即可证明 BC′
∥面 EFG．
【解析】
（1）如图
6
2
2
4
4
（正视图）
（侧视图）
4
2
2
（俯视图）
6
2
（2）所求多面体体积
V V
长方体
V
正三棱锥
1
1
446222
3
2
284
(cm2)．
3
G
D
F
C
A
E
A
D
B
C
B
（3）证明：在长方体ABCD ABCD中，
连结
AD
，则AD∥BC．
因为E，G分别为
AA
，
AD
中点，
所以AD∥EG，
从而EG∥BC．又BC平面EFG，
所以BC∥面EFG．
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【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关
数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．
类型二：几何体的表面积和体积类型二：几何体的表面积和体积
例 3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示
（单位：m）:
（1）试画出它的直观图；
（2）求它的表面积和体积.
【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上
下底边长分别为 1 和 2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出
直观图．
（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；
法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角， 而且被截去的部分为一直三棱柱， 利用长方体和棱柱的体积公
式求解即可．
法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积公式求解即可．
【解析】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1 和 2，高为1，侧棱垂直于
底面，长为 1．直观图如图所示：
（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1为棱的长方
体的体积的
3
，在直角梯形 AA1B1B 中，作 BE⊥A1B1于 E，则 AA1EB 是正方形，∴AA1=BE=1．
4
在 Rt△BEB1中，BE=1，EB1=1，∴BB1=
2
∴几何体的表面积 S=S
正方形 AA1D1D+2S梯形 AA1B1B+S矩形 BB1C1C+S正方形 ABCD+S矩形 A1B1C1D1
=1+2
(12)112 112
=7
2（m ）2
1
2
几何体的体积V
33
121(m3)
42
3
该几何体的表面积为（72）m2，体积为m3。
2
法二：几何体也可以看作是以AA1B1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，
V
直四棱柱 D1C1CD-A1B1BA=Sh=
13
(12)11(m3)
22
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3
该几何体的表面积为（72）m2，体积为m3。
2
举一反三：举一反三：
【变式 1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ()
A．aB．
a
C．
【答案】B
【解析】 设三棱柱底面所在圆的半径为r， 球的半径为 R， 易知r
2
317
2
7
2
2R2aaa
，所以S 4R
a
．
球
3
2123
2
2
7
3
2
11
2a
D．5a2
3
233
a a， 所以球的半径 R 满足：
323
【变式2】如图 ,在长方体ABCD A
1B1C1D1
中,AB AD3cm,AA
1
2cm,则四棱锥A BB
1D1D
的体积为
cm .
3
【答案】6.
【解析】∵长方体底面ABCD是正方形,∴△ABD中BD=3 2 cm,BD边上的高是32cm(它也是A BB
1D1D
中
2
BB
1D1D
上的高).
∴四棱锥A BB
1D1D
的体积为3 22
类型三：直线、平面的位置关系类型三：直线、平面的位置关系
例 4.如图所示，直三棱柱 ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N
分别是 A1B1、AB 的中点.
（1）求证：C1M⊥平面 A1ABB1；
（2）求证：A1B⊥AM；
（3）求证：平面 AMC1∥平面 NB1C；
（1）【证明】
方法一方法一由直棱柱性质可得 AA1⊥平面 A1B1C1，
又∵C1M平面 A1B1C1，∴AA1⊥MC1.
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1
3
3
2=6.
2
又∵C1A1=C1B1，M 为 A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.
又 A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面 AA1B1B.
方法二方法二由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面 A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M 为 A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1
于 M.
由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面 AA1B1B.
（2）【证明】证明】由（1）知 C1M⊥平面 A1ABB1，
∴C1A 在侧面 AA1B1B 上的射影为 MA.
∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，
∴A1B⊥平面 AMC1，又 AM平面 AMC1，∴A1B⊥AM.
（3）【证明】证明】
方法一方法一由棱柱性质知四边形 AA1B1B 是矩形，
M、N 分别是 A1B1、AB 的中点，
∴AN//B1M.∴四边形 AMB1N 是平行四边形.
∴AM∥B1N.连接 MN，在矩形 AA1B1B 中有 A1B1//AB.
∴MB1//BN，∴四边形 BB1MN 是平行四边形.∴BB1MN.又由 BB1//CC1，知 MN//CC1.
∴四边形 MNCC1是平行四边形.∴C1M//CN.又 C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，
∴平面 AMC1∥平面 NB1C.
方法二方法二由（1）知 C1M⊥平面 AA1B1B，
A1B平面 AA1B1B，∴C1M⊥A1B.
又∵A1B⊥AC1，而 AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面 AMC1.同理可证，A1B⊥平面 B1NC.
∴平面 AMC1∥平面 B1NC.
【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明
朗.
举一反三：举一反三：
【变式 1】如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的
⊙O上，CBA30，PAAB2，点 E 为线段 PB 的中点，
点M在AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；
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（Ⅱ）求证：平面PAC
【解析】
（Ⅰ）证明：因为点 E 为线段 PB 的中点，点O为线段AB的中点，
平面PCB
；
所以
OE∥PA.
因为
PA
平面PAC，OE平面PAC，
所以
OE∥平面PAC.
因为
OM∥AC，
因为
AC
平面PAC，OM平面PAC，
所以
OM∥平面PAC.
因为OE
平面MOE，OM平面MOE，OE
OMO，
所以 平面MOE∥平面PAC.
（Ⅱ）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，
所以
ACB
因为PA
90
，即BC AC.
平面ABC，平面ABC，BC
所以
PA BC.
因为
AC
所以
BC
因为
BC
平面PAC，PA
平面PAC.
平面PBC，
平面PCB.
平面PAC，PA
ACA，
所以 平面PAC
【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面
垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。
（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以
通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明的最常用方法。
例 5．如图所示，在五棱锥P-ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2 2，BC＝
2AE＝4，三角形 PAB是等腰三角形．
(1)求证：平面 PCD⊥平面 PAC；
(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；
(3)求四棱锥 P-ACDE 的体积．
【解析】(1)证明：因为∠ABC＝45°，AB＝2 2，BC＝4，所以在△ABC
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22
中，由余弦定理得：AC2＝(2 2) 4 22 24cos 45° 8，解得AC 2 2．所以 AB2+AC2＝8+8＝16
＝BC2，所以 AB⊥AC．又 PA⊥平面 ABCDE，所以 PA⊥AB．又 PA∩ AC＝A，所以 AB⊥平面 PAC．又 AB∥
CD，所以 CD⊥平面 PAC．又因为 CDC 平面 PCD，所以平面 PCD⊥平面 PAC．
(2)由(1)知平面 PCD⊥平面 PAC，所以在平面 PAC 内，过点 A 作 AH⊥PC 于 H，则 AH⊥平面 PCD．又
AB∥CD， AB平面 PCD， 所以 AB∥平面 PCD， 所以点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离． 过
点 B 作 BO⊥平面 PCD 于点 O， 连接 PO， 则∠BPO 为所求角， 且 AH＝BO，又容易求得 AH＝2， 所以 sin∠BPO
＝
1
，即∠BPO＝30°，所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 30°．
2
1
( 2 2 2)2 3， 所 以 四 棱 锥 P-AC-DE 的 体 积 为
2
(3)由(1)知 CD⊥平面 PAC，所以 CD⊥AC．又 AC∥ED，所以四边形 ACDE 是直角梯形．又容易求得DE
＝
2
， 所 以 四 边 形 ACDE 的 面 积 为
1
2 23 2 2．
3
【总结升华】 本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们
的空间想象能力．
举一反三：举一反三：
【变式 1】如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB//DC，ΔPAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8，
AB=2DC=4
5。
（1）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD；
（2）求四棱锥 P-ABCD 的体积。
【证明】【证明】（1）在ΔABD 中，
因为 AD=4，BD=8，AB=4
5，
所以AD BD AB，
所以AD BD。
又因为面PAD 面 ABCD，面 PAD∩面 ABCD=AD，BD面 ABCD
所以 BD⊥面 PAD。
又 BD面 BDM，所以面 MBD⊥面 PAD。
（2）过 P 作 PO⊥AD，∵面PAD⊥面 ABCD，∴PO⊥面 ABCD，即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高。又ΔPAD 是边长为
4 的等边三角形，∴PO=2 3。
在底面四边形 ABCD 中，AB//DC，AB=2DC，
222
四边形 ABCD 为梯形。
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在RtADB中，斜边 AB 上的高为
此即为梯形的高。
∴S
四边形 ABCD=
488 5
，
54 5
2 5 4 58 5
24，
25
∴V
PABCD
1
242 3 16 3
3
例 6．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD
＝90°．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离．
【解析】(1)证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得 CD⊥BC，又 PD
因为 PC平面 PCD，
所以 PC⊥BC．
(2)解法一： 如图所示， 分别取 AB、PC 的中点 E、F，连接 DE、DF，则易证 DE∥CB，所以 DE∥平面 PBC，
所以点 D、E 到平面 PBC 的距离相等．则点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离为 2 倍．
DC＝D，PD、DC平面 PCD，所以 BC⊥平面 PCD．
由(1)知 BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD．因为 PD＝DC，PF＝FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥
平面 PBC 于 F．易知 DF＝
2
，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 h．
2
解法二：(体积法)连接 AC．设点 A 到平面 PBC 的距离为 h．
因为 AB∥DC，∠B＝90°，所以∠ABC＝90°．
从而由 AB＝2，BC＝1，得△ABC 的面积S△ABC1．
由 PD⊥平面 ABCD 及 PD＝1，得三棱锥 P-ABC 的体积V
1
S
△ABC
3
1
PD
．
3
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因为 PD⊥平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PD⊥DC．
又 PD＝DC＝1，所以 PC＝PD2DC22．
由 PC⊥BC，BC＝1，得△PBC 的面积S△PBC
由VAPBCVPABC得
2
．
2
1
S
△PBC
3
1
h
，解得h
2，
3
故点 A 到平面 PBC 的距离等于
2．
【总结升华】 本题主要考查直线与平面、 平面与平面的位置关系， 考查几何体的体积， 考查空间想象能力、
推理论证能力和运算能力．
类型四：折叠问题类型四：折叠问题
例 7．如下图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，F 为 AD 中点，E 在 BC 上，且EF∥AB，
已知 AB＝AD＝CE＝2，现沿 EF 把四边形 CDFE 折起如下图(2)，使平面 CDFE⊥平面 ABEF．
(1)求证；AD∥平面 BCE；
(2)求证：AB⊥平面 BCE；
(3)求三棱锥 C-ADE 的体积．
【解析】
(1)证明：由题意知 AF∥BE，DF∥CE，
∴平面 ADF∥平面 BCE．又 AD≤平面 ADF，
∴AD∥平面 BCE．
(2)证明：在图 1-8-14(1)中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴EF⊥AD．
又∵平面 CDFE⊥平面 ABEF，平面 CDFE∩平面 ABEF＝EF，
∴CE⊥平面 ABEF．
∴CE⊥AB．
又∵AB⊥BE，∴AB⊥平面 BCE．
(3)解：∵平面 CDFE⊥平面 ABEF，AB⊥AF，
∴AF⊥平面 CDFE，∴AF 为三棱锥 A-CDE 的高，且 AF＝1．
又∵AB＝CE＝2，
∴
S
△CDE
∴
V
GADE
1
22 2．
2
1
V
ACDE
S
△CDE
3
AF
2
．
3
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举一反三：举一反三：
【变式 1】如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足
使平面A
1EF
平面EFB， 连结A
1B
，A
1P
. （如AE FC CP 1.将△AEF沿EF折起到△A
1EF
的位置，
图2）
（Ⅰ）若Q为A
1B
中点，求证：PQ∥平面A
1EF
；
（Ⅱ）求证：A
1E
EP.
B
F
E
A
A1
Q
E
F
图 1图 2
【解析】
证明：（Ⅰ）取A
1E
中点M，连结QM,MF．
在△A
1BE
中，Q,M分别为A
1B, A1E
的中点，
所以QM∥BE，且QM
因为
P
C
B
PC
A1
M
Q
E
F
B
PC
1
BE．
2
CFCP1
，
FAPB2
1
BE，
2
所以PF∥BE,且PF
所以QM∥PF，且QM PF．
所以四边形PQMF为平行四边形．
所以PQ∥FM．
又因为FM 平面A
1EF
，且PQ 平面A
1EF
，
A
E
D
F
所以PQ∥平面A
1EF
．
B
（Ⅱ） 取BE中点D，连结DF.
因为AE CF 1，DE 1，
P
C
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所以AF AD 2，而A 60，即△ADF是正三角形.
又因为AE ED 1, 所以EF AD.
所以在图 2 中有A1E EF.
因为平面A
1EF
平面EFB，平面A
1EF
平面EFB EF，
所以A1E⊥平面BEF. 又EP 平面BEF，所以A1E⊥EP.
类型五：探索性问题类型五：探索性问题
例 8．如下图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，
M 为 PC 的中点．
(1)求证：BM∥平面 PAD；
(2)平面 PAD内是否存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)证明：取 PD 中点 E，连接 EM，AE．
∴EM
∴EM
1
CD，而 AB
2
AB．
1
CD，
2
∴四边形 ABME 是平行四边形．
∴BM∥AE．
∵AE平面 ADP，BM平面 ADP，
∴BM∥平面 PAD．
(2)解：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AB．
又 AB⊥AD，∴AB⊥平面 PAD，
∴AB⊥PD．
∵PA＝AD，E 是 PD 的中点，
∴PD⊥AE．
∴PD⊥平面 ABME．
作 MN⊥BE，交 AE 于点 N，则 MN⊥平面 PBD．
易知△BME∽△MEN．
而 BM＝AE＝
2，EM＝
1
CD＝1．
2
ENEM(EM)212
由，得EN ，
EMBMBM22
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∴
AN
2
．
2
即点 N 为 AE 的中点．
【总结升华】垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，一般来说，要证线面垂直 (平行)，需证
线线垂直(平行)；要证线线垂直(平行)，需证线面垂直(平行)．
举一反三：举一反三：
【变式 1】在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证；BG⊥平面 PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】(1)要证直线与平面垂直，已知 PAD⊥平面 ABCD，只要证明 BG 与交线 AD 垂直即可；(3)
是开放性问题，可以选取特殊点，比如取F 为 PC 的中点来讨论．
【解析】
(1)证明：如下图(1)．
∵在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，
∴BG⊥AD．
又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD，
∴BG⊥平面 PAD．
(2)证明：如上图(2)，连接 PG．
∵△PAD为正三角形，G 为 AD 的中点，
∴PG⊥AD．
由(1)知 BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG
∴AD⊥平面 PBG．
∵PB平面 PGB，
平面 PAD，BG平面 PGB，
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∴AD⊥PB．
(3)解：当 F 为 PC 的中点时，平面 DEF⊥平面 ABCD．
证明如下：
在△PBC 中，FE∥PB，又在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 FE
∴平面 DEF∥平面 PGB．
由(1)知，PG⊥平面 ABCD，而 PG
∴平面 PGB⊥平面 ABCD，
∴平面 DEF⊥平面 ABCD．
平面 PGB，
平面 DEF，DE平面 DEF，FE∩DE＝E，
课课后后作作业业
年年级级 ：：上上 课课 次次 数数 ：：作业上交时间：作业上交时间：
学学 员员 姓姓 名名 ：：辅辅 导导 科科 目目 ：： 数学数学学学 科科 教教 师：师：
作业内容作业内容作业得分作业得分
作作业业内内容容
【巩固练习】【巩固练习】
1．已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中,
A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
2． 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,
2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是 （
）
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（）
A．(0,
2)
B．(0,
3)
C．(1, 2)D．(1, 3)
3．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）
A．
3 :1
B．
3:2
C．2:
3
D．
3:3
4．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积
是（）
A．130B．140C．150D．160
5．l
1
，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l
1
⊥l2，l2⊥l3l
1
∥l3
B．l
1
⊥l2，l2∥l3l
1
⊥l3
C．l
1
∥l2∥l3l
1
，l2，l3共面
D．l
1
，l2，l3共点l
1
，l2，l3共面
6． 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 直线BD和平面ABC
所成的角的大小为（）
A．90B．60C．45D．30
7．已知正四棱柱ABCD A
1B1C1D1
中,AB 2,CC
1
2 2, E为CC
1
的中点,则直线AC1与平面BED的距离
为（）
A．2B．
3
C．
2
D．1
8．如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点
E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、 下两部分.记 SE=x(0
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