全国高考理科数学[全国一卷]试题和答案解析

全国普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有1、设 z=12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）C.1 D.2），则 z=（A.0 B.1222、已知集合 A=x|x-x-20，则 CR A=（A、x|-1x2 BC、x|x2 D、x|-1 x2、x|x-1 x|x23、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（A.B.C.D.）新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加了一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半）4、记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（A、-12 B、-10 C、10 D、125、设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若 f（x）为奇函数，则曲线线方程为（A.y=-2x）B.y=-x C.y=2x D.y=x）y=f（x）在点（0，0）处的切6、在?ABC 中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则 EB=（A.34 AB-14 AC B.14 AB-34 AC C.34 AB+14 AC D.14 AB+34 AC7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点B，则在此圆柱侧面上，从M 在正视图上的对应点为M到 N的路径中，最短路径A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为的长度为（）A.217B.25C.3D.28.设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为FM FN=()A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数 f（x）=是()A.-1，0）B.0，+）C.-1，+）D.1，+）g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围23 的直线与C 交于 M，N 两点，则10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知双曲线 C：x23 -y 2=1，O为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则 MN=()A.32 B.3 C.12.已知正方体的棱长为面面积的最大值为（A.B.D.41，每条棱所在直线与平面）C.D.所成的角都相等，则 截此正方体所得截p1，p2，p3，二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为 .14.记 Sn为数列 an的前 n 项和.若 Sn=2an+1，则 S6=.15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有种.（用数字填写答案）1 位女生入选，则不同的选法共有16.已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 .三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（12分）A=45，AB在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，=2，BD=5.（1）求 cosADB；（2）若 DC=，求 BC.1721 题为必考题，每个试18.（12分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F分别为 AD，BC的中点，以 DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点 P的位置，且 PF BF.（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD；（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.19.（12分）设椭圆 C：x22 +y 2=1的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C交于 A，B两点，点 M的坐标为（2，0）.（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设 O为坐标原点，证明：OMA=OMB.20、（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检20 件产品作检验，再根据检验结果P（0P1），且各件产品验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为是否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f（P），求 f（P）的最大值点（2）现对一箱产品检验了每件产品的检验费用为偿费用。（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的。作为 P的值，已知25 元的赔2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付X，求 EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21、（12 分）已知函数（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点x1,x2,证明：.（二）选考题：共分。10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 C?的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为 2+2cos-3=0.（1）求 C?的直角坐标方程:（2）若 C?与 C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 f（1）（2）x）=x+1-ax-1.当 a=1时，求不等式 f（x）1若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围.（的解集；绝密启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C7B 2 B 8 D 3 A 9 C 4 B10A 5 D11B 6 A12A二、填空题3 313614631516162三、解答题17解：BD（1）在ABD中，由正弦定理得sinAsinABADB.25.22525.235.5由题设知，sin452sinADB所以,sinADB由题设知，ADB90，所以cosADB1cosBDC（2）由题设及（1）知，在BCD中，由余弦定理得BC2sinADBBD2525.2DC22 BD DCcosBDC2582522所以BC5.18解：（1）由已知可得，又BFBFPF，BFEF，所以BF平面ABFD.平面PEF.平面ABFD，所以平面PEF（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.Hxyz.以H为坐标原点，uu u ruuu rHF 的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE3.又PF1，EF2，故PEPF.PH3EH3可得2，2.P(0,0,33uu33uuHPu r则H(0,0,0)，2)D(1,2,0)DPu r(1,(0,0,3，2,2)，2)为平面ABFD的法向量.uu3sin|uuHPu ruu u ru rDPuuu r|43设DP与平面ABFD所成角为，则|HP|DP|34.3所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为4.解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x1.(1,2)(1,2由已知可得，点A的坐标为2或2).y22y2所以AM的方程为2x或2x2.（2）当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1y2xkMAky1MB22，直线MA，MB的斜率之和为x12x22.由y1kx1k，y2kx2k得k2)4kMAk2kx1x23k(x1xMB(x12)(x22).x2y21将yk(x1)代入2得(2k21)x24k2x2k220.2x4k,x x2k22所以，1x22k21122k21.4k312k332kx1x23k(x1x2)4k4k8k4k则2k210.2，19从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补.所以OMAOMB.综上，20解：OMAOMB.（1）20 件产品中恰有f(p)令f(p)C202 p(10，得p22 件不合格品的概率为p)18f(p)2C20p(12C20p(11722p).因此.0.所以f(p)的最大值点为1818p(12p)17p)(1 10p)0；当p0.1.当p(0,0.1)时，f(p)(0.1,1)时，f(p)p00.1.（2）由（1）知，p0.1.（）令Y表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，X202X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.（）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.由于EX400，故应该对余下的产品作检验.Cy41的方程为3|x|2综上，所求.23解：2,x 1,f(x)2x,1x1,（1）当a1时，f(x)|x1|x1|，即2,x 1.x|x1故不等式f(x)1的解集为2.（2）当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立.若a 0，则当x(0,1)时|ax1|1；010 x22若a，|ax1|的解集为a，所以a1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2.21解：21axax1（1）f(x)的定义域为(0,)f(x)1，x2xx2.（）若a 2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递减.2xaa44（）若a2，令f(x)0得，2xaa2或2.x(0,aa24U(aa24,)当2)2时，f(x)0；25Y，即x当(aa22(aa224 a,a2a224)时，f(x)0.所以f(x)在(0,aa224)，(aa224,)单调递减，在4a,42)单调递增.（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当由于f(x)的两个极值点f(x1)x1f(x2)x21x1x2x1，x2满足xx22a2.12，不妨设2ln x2a1x2x2x1x2，则x21ax12a0，所以x1x2ln x1x1ln x2x2.由于1aln x1x1ln x2，f(x1)f(x2)x2所以x1a21等价于x22ln xx22ln x20.)单 调 递 减，又g(1)0，从 而 当x(1,)时，g(x)设 函 数g(x)01xx，由（1）知，g(x)在(0,.1x2x22ln x20f(x1)f(x2)x2x1a2所以，即.22解：（1）由xcos，ysin2得C2的直角坐标方程为y2(x1)4.（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆.y轴对称的两条射线由题设知，C1是过点B(0,2)且关于CCC于B在圆2的外面，故1与2有且仅有三个公共点等价于与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.记l1与y轴右边的射线为只有一个公共点且l1，y轴左边的射线为l2与C2l2.由l2C2有两个公共点，或|k当当kl1与C2只有一个公共点时，2|2A到kl12，故所在直线的距离为2，所以k1k43或k0.经检验，0时，l1与C2没有公共点；当l2C243时，l1与C2只有一个公共点，|kl2kl2与2|C2有两个公共点.当与l1只有一个公共点时，C2A到k所在直线的距离为2，所以22，故k10或k43.经检验，当k0时，与没有公共点；当43时，l2与C2没有公共点.摘 要:城乡各类幼儿园都应从实际出发，因地制宜地实施素质教育为幼儿一生的发展打好基础心理健康教育是当代教育的主题，也是幼儿教育的主题。幼儿教育是基础教育的重要组成部分，是我。国学