全国高考数学试卷(理科专用)

20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学考生注意：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x 2，B=x|32x 0，则AACAB=x|x Bx|x 3232BAB B=RDA2为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是Ax1，x2，xn的平均数Cx1，x2，xn的最大值Bx1，x2，xn的标准差Dx1，x2，xn的中位数3下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i)2Bi2(1-i)C(1+i)2Di(1+i)4如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A14B8C12D4y25已知F 是双曲线 C：x-=1 的右焦点，P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则APF 的32面积为1A31B22C33D26如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是x 3y 3,7设 x，y 满足约束条件x y 1,则 z=x+y 的最大值为y 0,A08.函数y B1C2D3sin2x的部分图像大致为1cosx9已知函数f(x)lnxln(2 x)，则Af(x)在（0,2）单调递增Bf(x)在（0,2）单调递减Dy=f(x)的图像关于点（1,0）对称Cy=f(x)的图像关于直线 x=1 对称10如图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1000 和 n=n+1CA1000 和 n=n+1BA1000 和 n=n+2DA1000 和 n=n+211ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知sin B sin A(sinC cosC)0，a=2，c=2，则C=A12B6C4D3x2y212设 A、B 是椭圆 C：1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 AMB=120，则 m 的取值范围3m是A(0,19,)C(0,14,)B(0,39,)D(0,34,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a a=（1，2），b b=（m，1）.若向量 a a+b b 与 a a 垂直，则 m=_.14曲线y x 21在点（1，2）处的切线方程为_.x15已知a(0，),tan=2，则cos()=_。4216已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径。若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6.（1）求an的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且BAP CDP 90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC,APD 90,且四棱锥 PABCD 的体积为8，求该四棱锥的侧面积.319（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序零件尺寸9.95抽取次序零件尺寸910.269.911210.12101110.131210.029.2239.9649.96510.01131410.041510.059.9569.9279.98810.041611611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)0.212，16i116i116i1(i8.5)i116218.439，(xi x)(i 8.5)2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,16i116（1）求(xi,i)(i 1,2,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x 3s,x 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在(x 3s,x 3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）附：样本(xi,yi)(i 1,2,n)的相关系数r(x x)(y y)iii1n(x x)(y y)2iii1i1nn，0.008 0.092x220（12 分）设 A，B 为曲线 C：y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.4（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程.21（12 分）已知函数f(x)=ex(exa)a2x（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)0，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a.高中数学高考专题复习 06立体几何（解答题）1AA1=4，AB=2，【2019 年高考全国卷理数】如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 AMA1N 的正弦值2【2019 年高考全国卷理数】如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值3【2019 年高考全国卷理数】图 1 是由矩形 ADEB，Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.4PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，【2019 年高考北京卷理数】如图，在四棱锥 P ABCD 中，BC=3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且（1）求证：CD平面 PAD；（2）求二面角 FAEP 的余弦值；（3）设点 G 在 PB 上，且PF1PC3PG2判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由PB35【2019 年高考天津卷理数】如图，AE 平面ABCD，CF AE,AB AD 1,AE BC 2ADBC，AD AB,（1）求证：BF平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；1（3）若二面角E BD F的余弦值为，求线段CF的长36【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E7【2019 年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABC A1B1C1，平面A1ACC1平面ABC,ABC90，BAC 30,A1A AC AC,E,F分别是 AC，A1B1的中点.1（1）证明：EF BC；（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.8【2018 年高考全国卷理数】如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF BF.（1）证明：平面PEF 平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.9【2018 年高考全国 II 卷理数】如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值POBMAC10【2018 年高考全国卷理数】如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值11【2018 年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值12【2018 年高考江苏卷】在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB,AB1 B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC13【2018 年高考浙江卷】如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面 A1B1C1；（2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值14【2018 年高考北京卷理数】如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2（1）求证：AC平面 BEF；（2）求二面角 BCDC1的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交15【2018 年高考天津卷理数】如图，ADBC且 AD=2BC，AD CD,EGAD且 EG=AD，CDFG且 CD=2FG，DG 平面ABCD，DA=DC=DG=2.（1）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面CDE；（2）求二面角E BC F的正弦值；（3）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.16【2017 年高考全国卷理数】如图，在四棱锥PABCD 中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角 APBC 的余弦值.17【2017 年高考江苏卷】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC18【2017 年高考江苏卷】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中