会计专硕数学讲义第一章实数

2021 联考数学公式第一章第一章算数算数第一节第一节实数实数一、数的概念和性质一、数的概念和性质1 1、整数和自然数、整数和自然数整数 Z：.，-2，-1，0，1，2，.自然数 N：0，1，2，.正整数Z整数零 0自然数 N最小的自然数为 0负整数Z2 2、质数和合数、质数和合数质数素数质数素数：如果一个大于1 的正整数，只有1 和它本身两个约束，那么这个正整数就叫做质数。100 以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.合数：合数：除了 1 和本身之外还有其他的约数的正整数叫做合数。【重要结论】【重要结论】1质数和合数都在正整数范围内，且有无数多个。22 是唯一的既是质数又是偶数的整数，即使唯一的偶质数。大于 2 的质数必为奇数。质数中只有一个偶数 2，最小的质数为 2，最小的合数为 4。3假设质数 p|ab，那么必有 p|a 或 p|b。例：5|1564假设正整数 a、b 的积是质数 p，那么必有 a=p 或 b=p。例：ab=7，那么 a=7 或 b=751 既不是质数也不是合数。6如果两个质数的和或者差是奇数,那么其中必有一个是 2，如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是 2。例：质+质=奇 2+17=19质质=偶 23=6，25=107最小的合数是 4。任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。3 3、奇数和偶数及运算性质、奇数和偶数及运算性质偶数：偶数：能被 2 整除的整数叫做偶数双数。0 属于偶数。例：-2,0,2,4,6，.奇数：奇数：不能被 2 整除的整数叫做奇数单数。例：-1,1,3,23，.显然有：奇数：2n1整数偶数：2n奇数偶数的运算性质奇数偶数的运算性质奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数，奇数偶数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数奇数=整数时奇数，偶数偶数=整数时奇偶不定，偶数奇数=整数时偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数.4 4、分数及小数、分数及小数分数：分数：将单位 1“平均分成假设干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。小数：小数：实数的一种特殊的表现形式，多有分数都可以表示成小数。小数中的原点叫做小数点，他是一个小数的整数局部和小数局部的分界号。其中整数局部是零的小数叫做纯小数，整数局部不是零的小数叫做带小数。5 5、整除、倍数、约数、整除、倍数、约数数的整除：数的整除：当整数 a 除以非零实数 N，商正好是整数而无余数，那么称 a 能被 N 整除或 N 能整除 a.记为 N|a.带余除法：带余除法：假设 a 除 b 的余数是 r，那么有 r 小于 a.带余除法化整除：带余除法化整除：a 除 N 余 r，那么有 a 整除 N-r.倍数及最小公倍数：倍数及最小公倍数：假设 a 能整除 N，那么N 叫做 a 的倍数.假设 b 也能整除 N，那么N 叫做 a 及 b 的公倍数.公倍数有无穷多个，其中第 1 页-最小的一个叫做最小公倍数，记为a，b.约数及最大公约数：约数及最大公约数：假设 a 能整除 M，那么 a 叫做 M 的约数.假设 a 也能整除 N，那么 a 叫做 M 及 N 的公约数.公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做最大公约数，记为M，N.最小公倍数及最大公约数的求法：最小公倍数及最大公约数的求法：1 1分解因数法：分解因数法：先把这几个数分解质因数，再把他们一切共有的质因数和其中几个数共有的质因数及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是他们的最小公倍数。例：求12，18，20，因为 12=23,18=23,20=25，所以12，18，20=235=180求12,18,20，因为 12=23,18=23,20=25，所以12,18,20=2口诀：最大公约数取小者，最小公倍数反取大。口诀：最大公约数取小者，最小公倍数反取大。例：72=23 72,84=237=50484=237(72,84)=23=122 2公式法：公式法：由于两个数的乘积等于这个两个数的最大公约数及最小公倍数的积两个数的积=最大公约数最小公倍数。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求出这个最小公倍数及第三个自然数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。例：求18，20，即得18，20=182018，20=1803 3多元短除法：多元短除法：两数同时相除质因数，然后得出余数。72,84=22367=504223，是侧面除数，67 是两数余数小学化商法(72,84)=223=12口诀：最大公约数取侧部，最小公倍数取全部口诀：最大公约数取侧部，最小公倍数取全部.4 4 辗转相除法：辗转相除法：两数的最大公约数等于其中较小数及大数除以小数的余数的最大公约数，如此辗转相除，直到一数是另一数的倍数。例：72,84=72,12=12 72,84=口诀：大数用余留小数，直到出现倍数状口诀：大数用余留小数，直到出现倍数状二、实数的分类二、实数的分类1.实数包括有理数和无理数正整数正有理数有理数 0正分数有限小数，无限循环小数负有理数负整数实数负分数正无理数无理数无限不循环小数负负无理数正有理数正整数正实数正分数正无理数实数 0负整数负有理数负实数负分数负无理数三、常见的整除特点三、常见的整除特点1能被 2 整除的数：偶数。2能被 3、9 整除的数：每一位数字之和是 3、9 的倍数。第 2 页2232222222223272 84=504123能被 4、25 整除的数：末两位数是 4、25 的倍数。4能被 5 整除的数：末位数是 5 的倍数。5能被 6 整除的数：能被 3 整除的偶数。6能被 7、11、13 整除的数：末三位及末三位以前的数字只差是 7、11、13 的倍数。7能被 8、125 整除的数，末三位数是 8、125 的倍数。8能被 11 整除的数：奇数位之和及偶数位之和的差事 11 的倍数。9能被 12 整除的数同时满足能被 3 和 4 整除的条件。10能被 15 整除的数同时满足能被 3 和 5 整除的条件。四、化简求值的方法四、化简求值的方法1分数列项抵消法：1111=(-)n(nk)knn k2244nn2连环平方差合项法：(a+b)(a+b)(a b).(22)ab3阶乘列项抵消法：n1n111nAnn!(n1)!n!4根式列项抵消法：1n nk1(n nk)k5111 2()123.nnn11111n(n1)(n2)2 n(n1)(n1)(n2)61111)(1)(1).(1)2222234n711111111n11n1(1)(1)(1).(1)(1)(1)(1).(1)234n234n2n2n(1 343125112480-9 法纯分数：0.34，0.125 90990990 123349补 9 法混合分数：0.1，0.2，0.3，0.34 9999910k z,(k 1)k(k 1),能被3、6整除，两个连续的数能被 2 整除，3 个连续的数能被 3 整除，满足既能被 2 整除又能被 3整除的连续的数能被 6 整除。连续 K 个整数乘积能被 K 整除。11分数的定义：真分数：bbbacbcaacba，假分数：ba，代分数：a=，繁分数：cbaaccbba既约分数：分子、分母互质，最简分数：分子、分母互质，往往是真分数或代分数10(110n1)10(10n11)121010 10.10 110923n第二节第二节绝对值绝对值一、定义一、定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。第 3 页【特征】绝对值只对负数起作用变号，对正数和零无影响。二、数学描述二、数学描述 aa0 -aa0 x|x|自比性：|a|-1,x0非负性：即|a|0，任何实数 a 的绝对值非负。具有非负性的数还有：偶数次方根式推而广之，具有非负性的数还有正偶次方根式，如a2,a4,.,a,4a,.考点规那么：考点规那么：假设干个具有非负性质的数之和等于零时，那么每个非负数因改为零；有限个非负数之和仍为非负数。四、根本不等式四、根本不等式适合不等式|x|0的所有实数所对应的就是全部及远点距离小于 a 的点，即，|x|a-ax0.同理可得，|x|axaa0.五、三角不等式五、三角不等式第三节第三节比和比例比和比例一、比和比例一、比和比例两个数相除，又称为这两个数的比。a 和 bb0的比记为 a：b 或记作 a：b=a。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，相除所得的商叫做比值，ba k.相等的比成为比例，记作 a：b=c：d，其中 a 和 b 称为比例外项，b 和 c 称为比例内项。b二、正比和反比二、正比和反比假设 y=kxk 不为零，那么称 y 及 x 成正比，k 称为比例系数。【注】并不是 x 和 y 同时增大或减小才称正比。比方当k0，i当 n 等于 2 时，正数x1，x2的几何平均值x1x2称为x1，x2的比例中项。a b 2 ab(a,b 0).第二章第二章应用题应用题第一节第一节等量关系等量关系一、利润问题一、利润问题1.利润=售价-进价：利润率 利润售价（-1）100%=100%进价进价2.售价=进价1+利润率=进价+利润二、比、百分比、比例问题二、比、百分比、比例问题1.变化率=变化量100%【注】变化率包括增长率和下降率两个。原来量2.原值为 a，增长 p%，那么现值=a1+p%；原值为 a，下降 p%，那么现值=a1-p%。【注】一件商品先提价 p%，再降价 p%，或者先降价 p%再提价 p%，回不到原价，应该比原价小，因为：a1-p%1+p%a3.恢复原值：原值先降 p%，再增p%p%才能恢复原值；或者先增 p%，再降，才能恢复原值。1 p%1 p%第 5 页