例谈正弦、余弦函数有界性的应用

例谈正弦、余弦函数有界性的应用例谈正弦、余弦函数有界性的应用山东孙道斌正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|1,|cosx|1。此结论在解题中有着广泛的应用。举例说明。1.1.求值域或最值求值域或最值例 1 求函数y 4cosx的值域。2cosx 3解：原函数可变为：cosx 43y，2y 1因为|cosx|1，即|43y|1，2y 1解得3 y 5，535故所求函数的值域为,5。例 2 求函数y sin2x sin xcosx的最值。解：由原函数得：y 111sin2x cos2x，222即y 12sin(x)，224又|sin(x 所以4)|1，11(12)y(12)，2211故ymin(12),ymax(12)。222.2.证明等式或不等式证明等式或不等式例 3 已知、(0,)且coscoscos()求证：cos3，221。3，232coscos 2cos21，22222 4coscos1 0即4cos222证明：因为cos coscos()因为cos2是实数，16cos2即|cos216 0，2|1，而|cos2|1，所以|cos2|1，又、(0,)，所以222，cos2 0，所以cos1。211时，方程有解cos，故cos1。又当cos2222ABC1例 4 在ABC中，求证：sinsinsin。2228ABC1A BA BCcos)sin证明：sinsinsin(cos22222221A BC1C1C1Csinsin2sinsin2=cos2222222221C1211=(sin)，22288A BC11且sin，当cos222即A B C 3.3.求参数的范围求参数的范围例 5 要使sin3cos3时，取等号。4m 6有意义，求m的范围。4 m解：因为sin3cos 2sin(600)，故sin(60)002m 3，4 m又|sin(60)|1，2m 3|1，4 m7解得1 m。3即|4.4.讨论函数的性质讨论函数的性质例 6 证明函数f(x)x在R上有界。21 x证明：令x tan，则tantan11|sincos|sin2|，221 tan2sec2x故函数f(x)在R上有界。21 x|f(x)|例 7 设a为无理数，求证函数f(x)cos x cosax不可能是周期函数。证明：假设f(x)cos x cosax是周期函数，则存在常数T 0，使对于任意的x,cos(x T)cosa(x T)cos x cosax都成立。令x 0得：cosT cosaT cos0 cos0 2因为|cosT|1,|cosaT|1，所以成立必有cosT cosaT 1，所以T 2k,aT 2l(k、l Z)，所以a ll，由于k、l Z，所以为有理数，即a为有理数，这与已知a为无理数kk矛盾，故函数f(x)cos x cosax不可能是周期函数。