导数中的切线与零点问题

切线、零点问题切线、零点问题一、导数与切线一、导数与切线要点概括要点概括函数函数 y=f(x)y=f(x)在一点在一点 x=xx=x0 0处的导数处的导数 f(xf(x0 0)的几何意义就是曲线的几何意义就是曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处处的切线的斜率。的切线的斜率。对于求曲线上某切点的切线方程可直接利用导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式求对于求曲线上某切点的切线方程可直接利用导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式求解解.求过曲线外一点的切线方程可利用设切点坐标构造切线方程再联立曲线方程求切点坐标，求过曲线外一点的切线方程可利用设切点坐标构造切线方程再联立曲线方程求切点坐标，再求切线方程再求切线方程.真题赏析真题赏析【20122012 广东】广东】曲线曲线 y=xy=x3 3-x+3-x+3 在点（在点（1 1，3 3）处的切线方程为）处的切线方程为【20102010 辽宁】辽宁】已知点已知点 P P 在曲线在曲线 y=y=范围是范围是(A)0,(A)0,4上，上，a a为曲线在点为曲线在点 P P 处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则a a的取值的取值xe 1 33)(B)(B),)(,(D)(D),)4 22444【20092009 安徽卷】安徽卷】已知函数已知函数f(x)在在 R R 上满足上满足f(x)2 f(2 x)x28x8，则曲线则曲线y f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是（A A）y 2x1（B B）y x（C C）y 3x2（D D）y 2x315x9都相切，则都相切，则a等于等于477252125A A1或或-B B1或或 C C或或-D D或或744644641【20082008 海南】海南】设函数设函数f(x)ax(a，bZ Z)，曲线，曲线y f(x)在点在点(2，f(2)处的切线方程处的切线方程xb【20092009 江西】江西】若存在过点若存在过点(1,0)的直线与曲线的直线与曲线y x3和和y ax2为为y y=3=3（）求（）求f(x)的解析式：的解析式：（）证明：函数（）证明：函数y f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）（）证明：证明：曲线曲线y f(x)上任一点的切线与直线上任一点的切线与直线x x=1=1 和直线和直线y y=x x所围三角形的面积为定值，所围三角形的面积为定值，并求出此定值并求出此定值【20102010 福建】福建】已知函数已知函数 f(x)=xf(x)=x3 3-x,-x,其图像记为曲线其图像记为曲线 C.C.（1 1）求函数）求函数 f(x)f(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）证明：若对于任意非零实数）证明：若对于任意非零实数 x x1 1,曲线曲线 C C 与其在点与其在点 P P1 1（x x1 1,f(x,f(x1 1)）处的切线交于另一点处的切线交于另一点P P2 2（x x2 2,f(x,f(x2 2)），曲线，曲线 C C 与其在点与其在点 P P2 2处的切线交于另一点处的切线交于另一点 P P3 3（x x3 3,f(x,f(x3 3)），线段，线段 P P1 1 P P2,2,P P2 2 P P3 3与曲与曲线线 C C 所围成封闭图形的面积分别记为所围成封闭图形的面积分别记为 S S1 1，S S2 2，则，则S1为定值；为定值；S2【20082008 山东】山东】设抛物线方程为设抛物线方程为x2 2py(p 0)，M为直线为直线y 2p上任意一点，过上任意一点，过M引抛物引抛物线的切线，切点分别为线的切线，切点分别为A，B（）求证：（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；三点的横坐标成等差数列；（）已知当（）已知当M点的坐标为点的坐标为(2，2p)时，时，AB 4 10求此时抛物线的方程；求此时抛物线的方程；（）是否存在点（）是否存在点M，使得点，使得点C关于直线关于直线AB的对称点的对称点D在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)上，其中，上，其中，点点C满足满足OC OAOB（O为坐标原点）为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不的坐标；若不存在，请说明理由存在，请说明理由高考动向高考动向多以小题形式或大题的第一问形式出现，近几年个别省份以切线与面积问题或切线与圆多以小题形式或大题的第一问形式出现，近几年个别省份以切线与面积问题或切线与圆锥曲线问题结合作为压轴题出现，而广东在近几年高考中则尚无先例。锥曲线问题结合作为压轴题出现，而广东在近几年高考中则尚无先例。二、导数与零点二、导数与零点要点概括要点概括利用导数法研究函数的零点，利用导数法研究函数的零点，方程的根的问题，方程的根的问题，即通过导数研究函数的单调性，即通过导数研究函数的单调性，最大值，最大值，最小值，变化趋势等，并借助函数的大致图像判断函数零点方程根的情况。这是导数这一工最小值，变化趋势等，并借助函数的大致图像判断函数零点方程根的情况。这是导数这一工具在研究方程中的重要应用，将方程，不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查具在研究方程中的重要应用，将方程，不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查综合运用有关知识分析问题，解决问题的能力。通过数形结合的思想去分析问题，可以使得综合运用有关知识分析问题，解决问题的能力。通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰，直观的整体展现。问题的求解有一个清晰，直观的整体展现。二次函数零点问题二次函数零点问题【20092009 广东】广东】已知二次函数已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线的导函数的图像与直线y 2x平行，平行，且且y g(x)在在x 1处取得极小值处取得极小值m1(m 0)设设f(x)g(x)x（1 1）若曲线）若曲线y f(x)上的点上的点P到点到点Q(0,2)的距离的最小值为的距离的最小值为2，求，求m的值；的值；（2 2）k(k R)如何取值时，函数如何取值时，函数y f(x)kx存在零点，并求出零点存在零点，并求出零点【20072007 海南宁夏】海南宁夏】设函数设函数f(x)ln(xa)x2（I I）若当）若当x 1时，时，f(x)取得极值，求取得极值，求a的值，并讨论的值，并讨论f(x)的单调性；的单调性；（IIII）若）若f(x)存在极值，求存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于的取值范围，并证明所有极值之和大于ln【20102010 全国全国 2 2】已知函数已知函数f(x)x33ax23x1.(I)(I)设设a 2,求求f(x)的单调区间；的单调区间；(II)(II)设设f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)上有一个极值点上有一个极值点,求求a的取值范围的取值范围.e2【20112011 广州一模】广州一模】已知函数已知函数fx ax2bxca 0满足满足f00,对于任意对于任意xR R 都有都有11fx x,且且f x f x,令令gx fxx10.22(1)(1)求函数求函数fx的表达式；的表达式；(2)(2)求函数求函数gx的单调区间；的单调区间；(3)(3)研究函数研究函数gx在区间在区间0,1上的零点个数上的零点个数.直接利用导数研究零点直接利用导数研究零点3【20112011 湖南】湖南】已知函数已知函数fx x,gx xx.求函数求函数hx fxgx的零点个数，并说明理由；的零点个数，并说明理由；设数列设数列annN*满足满足a1 aa 0,fan1 gan,证明：存在常数证明：存在常数M,使得对于任意的使得对于任意的nN*,都有都有an M.【20052005 全国全国 2 2】设设a a为实数，函数为实数，函数f(x)x3 x2 x a。（）求（）求f(x)的极值；的极值；（）当（）当a a在什么范围内取值时，曲线在什么范围内取值时，曲线y f(x)与x轴仅有一个交点。轴仅有一个交点。【20102010广州一模】广州一模】已知已知aR R，函数，函数f(x)对数的底数）对数的底数）（1 1）求函数）求函数f(x)在区间在区间0,e上的最小值；上的最小值；（2 2）是否存在实数）是否存在实数x00,e，使曲线，使曲线y g(x)在点在点x x0处的切线与处的切线与y轴垂直轴垂直?若存在，求若存在，求出出x0的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由【未知年份省份】【未知年份省份】已知函数已知函数f(x)2a2ln x x2(常数常数a 0).(1)(1)求证：无论求证：无论a为何正数，函数为何正数，函数f(x)的图象恒过点的图象恒过点A(1,1)；aln x1，g(x)lnx1ex x（其中（其中e为自然为自然x(2)(2)当当a1时，求曲线时，求曲线yf(x)在在x1处的切线方程；处的切线方程；(3)(3)讨论函数讨论函数f(x)在区间在区间(1,e2)上零点的个数（上零点的个数（e为自然对数的底数）为自然对数的底数）利用导数研究两个函数的交点利用导数研究两个函数的交点【20082008 江西文】江西文】已知函数已知函数f(x)1413xaxa2x2a4(a0)43（1 1）求函数）求函数yf(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）若函数）若函数yf(x)的图像与直线的图像与直线y1恰有两个交点，求恰有两个交点，求a的取值范围的取值范围【20082008 四川】四川】2222已知已知x3是函数是函数f(x)aln(1 x)x210 x的一个极值点的一个极值点（）求（）求a的值；的值；（）求函数（）求函数f(x)的单调区间；的单调区间；（）当直线（）当直线 yb与函数与函数yf(x)的图像有的图像有 3 3 个交点，求个交点，求b的取值范围的取值范围【20102010 汕头一模】汕头一模】定义在定义在(0,)上的三个函数上的三个函数f(x)f(x)、g(x)g(x)、h(x)h(x)，已知，已知f(x)=f(x)=lnx，g(x)x2af(x),h(x)xax，且，且g(x)在在x1处取得极值处取得极值(1)(1)求求a的值及的值及h(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）求证：当）求证：当1xe2时，恒有x2f(x)；2f(x)(3)(3)把把h(x)对应的曲线对应的曲线C1向上平移向上平移 6 6 个单位后得到曲线个单位后得到曲线C2，求，求C2与与g(x)对应曲线对应曲线C3的交点的交点的个数，并说明道理的个数，并说明道理【山东枣庄一模】【山东枣庄一模】已知函数已知函数f(x)ax(aR),g(x)lnx1.（1 1）若函数）若函数h(x)g(x)1xf(x)2x存在单调递减区间，求存在单调递减区间，求 a a 的取值范围；的取值范围；2（2 2）当）当 a0a0 时，试讨论这两个函数图象的交点个数时，试讨论这两个函数图象的交点个数其他与零点相关的问题其他与零点相关的问题【20122012 江苏】江苏】若函数若函数yf(x)在在xx0处取得极大值或极小值，则称处取得极大值或极小值，则称x0为函数为函数yf(x)的极的极值点。已知值点。已知a，b是实数，是实数，1 1 和和1是函数是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点的两个极值点（1 1）求）求a和和b的值；的值；（2 2）设函数）设函数g(x)的导函数的导函数g(x)f(x)2，求，求g(x)的极值点；的极值点；（3 3）设）设h(x)f(f(x)c，其中，其中c 2，2，求函数，求函数yh(x)的零点个数的零点个数1【20092009 天津文】天津文】设函数设函数fx x3 x2m21xxR，其中，其中m 03（1 1）当）当m 1时，求曲线时，求曲线y fx在点在点1,f1处的切线的斜率处的切线的斜率（2 2）求函数）求函数fx的单调区间与极值的单调区间与极值（3 3）已已 知知 函函 数数fx有有 三三 个个 互互 不不 相相 同同 的的 零零 点点0,x1,x2，且