江苏省南京市沿江中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

江苏省南京市沿江中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为             （    ） (A) 锐角         (B) 钝角          (C) 直角     (D) 不能确定 参考答案： A 2. 设(    )    A．4        B． 5         C． 6             D． 10 参考答案： B 3. 下列有关命题的说法正确的是（    ） A．命题“若，则” 的否命题为“若，则” B．“”是“”的必要而不充分条件 C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有” D．命题“若，则”的逆否命题为真命题 参考答案： D 略 4. 将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是(    ) A、                           B、                   C、                 D、9 参考答案： A 5. 函数在区间的值域为（   ）． A．        B．       C．       D． 参考答案： A 6. 已知f(x)=  ,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值(    ) A.一定大于零        B.一定等于零     C.一定小于零         D.正负都有可能 参考答案： A 略 7. 根据表格中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 l 2 3 4 5     A．(-l，0)    B．(0，1)    C．(1，2)   D．(2，3) 参考答案： C 8. 对于实数a和b，定义运算“*”：设 ，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，则x1·x2·x3的取值范围是 A．(,0)         B．(,0)        C．(0, )         D．(0, ) 参考答案： A 9. 方程表示的图形是（　　） Ａ．以为圆心，为半径的圆     Ｂ．以为圆心，为半径的圆 Ｃ．以为圆心，为半径的圆    Ｄ．以为圆心，为半径的圆 参考答案： D 10. 已知复数，是的共轭复数，则·=（    ）    A、 B、 C、1 D、 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. “且”是“”成立的______________条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要） 参考答案： 充分不必要 略 12. 设为的最大值，则二项式展开式中含项的系数是                 。 参考答案： 略 13. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数；              ②整数集是数域； ③若有理数集QM,则数集M必为数域;    ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是          .（把你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案： ①④ 14. 某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，     得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于分为合格， 则合格人数    人． 参考答案： 425 略 15. 两圆，相交于两点，则直线的方程是   ． 参考答案： 16. 阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是　　　　． 参考答案： 729（或填） 略 17. 已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线AC折起，使二面角B﹣AC﹣D为60°，则点B到△ACD所在平面的距离为　　． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算． 【分析】由题意画出图形，利用折叠前后的量的关系可得∠BGD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，在平面BGD中，过B作BO⊥DG，垂足为O，由面面垂直的性质可得BO为B到△ACD所在平面的距离．然后求解直角三角形得答案． 【解答】解：如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°， 连接AC，BD，交于G，则BG⊥AC，DG⊥AC，且BG=AG=． 沿对角线AC折起，使二面角B﹣AC﹣D为60°，如图2， 由BG⊥AC，DG⊥AC，可知∠BGD为二面角B﹣AC﹣D的平面角等于60°． 且AC⊥平面BGD， 又AC?平面ACD，则平面BGD⊥平面ADC，平面BGD∩平面ADC=DG， 在平面BGD中，过B作BO⊥DG，垂足为O，则BO⊥平面ADC， 即BO为B到△ACD所在平面的距离． 在Rt△BOG中，由BG=，∠BGO=60°，得BO=． 故答案为：． 【点评】本题考查空间中点线面间距离的计算，考查空间想象能力与思维能力，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最小值是4.   （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）设，若对任意的， 均成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）解集为， 设，且，对称轴，开口向下， ，解得， 所以        （Ⅱ），恒成立 即对恒成立 化简， 即对恒成立 令，记，则， 二次函数开口向下，对称轴为，当时，故 ，解得或 略 19. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE； （Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE； （Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求； （Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求． 【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则， 而=0． 所以B1C1⊥CE； （Ⅱ）解：， 设平面B1CE的法向量为， 则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以． 由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1， 故为平面CEC1的一个法向量， 于是=． 从而==． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为． （Ⅲ）解：， 设 0≤λ≤1， 有． 取为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则= =． 于是． 解得．所以． 所以线段AM的长为． 【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题． 20. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，C=，b=8，△ABC的面积为10． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求cos（B﹣C）的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数． 【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5， ∴由余弦定理可得：c===7…6分 （Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===， 又∵B∈（0，π），可得：sinB==， ∴cos（B﹣C）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分 　 21. 已知等比数列 满足 ，   （Ⅰ）求的通项公式  （Ⅱ）求数列的前n项和． 参考答案： (Ⅰ) 证明：     (Ⅱ)由（1）知 所以两式相减得 略 22. （12分）（2014秋?中山期末）数列{an}首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设存在正数k，使对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 参考答案： 【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．  【专题】综合题． 【分析】（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可． （2）由（1）先求出Sn，进而可求求数列{an}的通项公式； （3）先构造函数F（n）判断其单调性，然后再由F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1（1分） ∴Sn﹣Sn﹣1=， ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1（3分） ∴（n≥2），（5分） ∴数列{|是以=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分） （2）解：由（1）知=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， ∴Sn=， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ ∵a1=S1=1， ∴an=．（10分） （3）设F（n）=， 则=（12分） ∴F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k ∵[F（n）]min=F（1）=， ∴0＜k≤，kmax=．（14分） 【点评】本题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题，（3）中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力及较高的观察能力．