江苏省常州市林南中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省常州市林南中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点位于     A．第一象限        B．第二象限     C．第三象限    D．第四象限 参考答案： B 2. “勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是 A.   B.   C. D. 参考答案： D 设大正方形边长为5,由知对边等于3，邻边等于4， 所以小正方形的边长为1，面积等于S=1,.故选D. 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的根的个数至多为（   ） (A) 3           (B) 4           (C) 6           (D) 9 参考答案： A 当时，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，，且时，又在上为奇函数，所以，而时，所以大致图象如图所示： 令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，，方程至多有一个根，从而函数的根的个数至多有3个。 4. 已知，则y=f（x）的对称轴为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象． 【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可． 【解答】解：， ∴对称轴方程为， ∴x=﹣，令k=1，得x=， 故选：B． 5. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是   （    ）              参考答案： D 6. 命题“若，则有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（  ）   A．0           B．1             C．2              D．3 参考答案： C 略 7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是（    ）        参考答案： B 8. 若对于任意都有，则函数的图象的对称中心为（　　） A. B. C. D. 参考答案： D ∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（–x）=3cosx–sinx①，用–x代替x，得f（–x）+2f（x）= 3cos（–x）–sin（–x），即f（–x）+2f（x）=3cosx+sinx②；①②联立，解得f（x）=sinx+cosx，所以函数y=f（2x）–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x，图象的对称中心为（，0），k∈Z，故选D． 9. 设 都是锐角，sin=（    ）    A.       B.         C.      D. 参考答案： C 略 10. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则?U（A∪B）=（　　） A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5} 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求． 【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0， 变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0， 解得：1＜x＜4， ∴B={2，3}， ∵A={1，2}， ∴A∪B={1，2，3}， ∵集合U={0，1，2，3，4，5}， ∴?∪（A∪B）={0，4，5}． 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为      ． 参考答案： 12. 若随机变量～，且＝0.1587，则__________. 参考答案： 0.8413 略 13. 已知则常数=_________. 参考答案： 1 ，解得。 14. 已知函数，则          ；若，则          ． 参考答案： 或  15. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N=240， 则N=_________。 参考答案： 略 16. 已知数列中，，（），则          ． 参考答案： 17. 如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为　     　． ①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC1B1；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]． 参考答案： ②③④ 【考点】MT：二面角的平面角及求法． 【分析】①，利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形； ②，由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值； ③，由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1； ④，平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大． 【解答】解：如图， 对于①，若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，故错误； 对于②，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，故正确； 对于③，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，故正确； 对于④，当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，故正确， ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上． （1）证明：AA1⊥面ABCD． （2）当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I）利用勾股定理的逆定理可得：A1A⊥AB；A1A⊥AD．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论． （II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．利用三角形中位线定理可得：A1B∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明A1B∥平面EAC． ②由OE是△A1BD的中位线，可得求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离．利用VE﹣ACD=VD﹣ACE，即=，解出即可得出． 【解答】（I）证明：∵AA1=2，A1B=A1D=2， ∴=8=，可得∠A1AB=90°， ∴A1A⊥AB；同理可得：A1A⊥AD． 又AB∩AD=A，∴AA1⊥面ABCD． （II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O． 连接OE，则OE是△A1BD的中位线，∴A1B∥OE． 又A1B?平面EAC，OE?平面EAC， ∴A1B∥平面EAC． ②∵OE是△A1BD的中位线， ∴求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离． 点E到平面ACD的距h=AA1=1． S△ACD==． EC==2=AC，AE=． ∴S△ACE==． ∵VE﹣ACD=VD﹣ACE， ∴=， ∴d==． 19. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）． （1）求y关于v的函数关系式； （2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数； （2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少． 【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升）， 水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升）， ∴总用氧量（v＞0）． （2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增， ∴当时，函数在上递减，在上递增， ∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少． 20. 设f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B． （Ⅰ）求A、B； （Ⅱ）若p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假；函数的定义域及其求法． 【专题】简易逻辑． 【分析】（Ⅰ）要使f（x）有意义，则需由 2﹣≥0，按分式不等式的解法求解，要使g（x）有意义，则由真数大于零求解即可． （Ⅱ）由￢p是￢q充分不必要条件，p是q必要不充分条件，继而求出a 的范围 解：（Ⅰ）由 2﹣≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） 由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0，由a＜1得a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，∴B=（2a，a+1）． （Ⅱ）∵p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要条件， ∴p是q必要不充分条件， ∴或 解得≤a＜1，或a≤﹣2， 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[，1） 【点评】本题通过求函数定义域来考查分式不等式，一元二次不等式的解法和集合的运算． 21. 函数， （Ⅰ）若求不等式的解集 （Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围 参考答案： （Ⅰ）（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）（Ⅱ）（﹣1，0）． 【分析】 （Ⅰ）若a＝﹣2，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围 【详解】（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝|x+2|， f（x）+f（2x）＝|x+2|+|2x+2|＞2， 不等式可化为或或， 解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）； （Ⅱ）f（x）+f（2x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|， 当x≤a时，f（x）＝a﹣x+a﹣2x＝2a﹣3x，则f（x）≥﹣a； 当a＜x＜时，f（x）＝x﹣a+a﹣2x＝﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a； 当x≥时，f（x）＝x﹣a+2x﹣a＝3x﹣2a，则x≥﹣， 所以函数f（x）的值域为[