江苏省常州市溧阳后周中学高三数学文期末试题含解析

江苏省常州市溧阳后周中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. （0，1] B. （0，2] C. D. （3，+∞） 参考答案： B 【分析】 当和时结论显然成立，当，分离参数，恒成立等价于，令函数，，利用导数研究函数在 上的单调性，进而求出函数在上的最小值，即可求出。 【详解】当时，显然不等式恒成立， 当时，显然不等式恒成立 当，由不等式恒成立，有，在恒成立， 令，，则， 令，，则， ∴在上单调递增，∴，即， ∴在上单调递增，∵当时，， ∴当时，恒成立，∵，在恒成立， ∴ ， 因此正实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题。 2. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A.－1 B. 1 C. －2 D. 2 参考答案： B 【分析】 利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部. 【详解】依题意，故，其虚部为1. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题. 3. 不等式的解集为 A.    B.    C.    D. 参考答案： C 略 4. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是        A．所有不能被2整除的整数都是偶数        B．所有能被2整除的整数都不是偶数        C．存在一个不能被2整除的整数是偶数      D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 参考答案： D 5. 已知四棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该几何体的体积为（    ） A.           B.            C.            D.   参考答案： C 略 6. 函数f（x）=的图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案． 【解答】解：若使函数的解析式有意义 则，即 即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞） 可排除B，D答案 当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0 则＞0 可排除C答案 故选A 7. 已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有②对于任意的，都有③的图象关于y轴对称.则下列结论中，正确的是（     ）     A．               B． C．              D． 参考答案： B 略 8. 已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为　　　　  　　  　　　         （    ）  A．双曲线的一支   B．双曲线          C．一条射线        D．两条射线  参考答案： C 略 9. 复数=（　　） A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 参考答案： A 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解： =． 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 10. 已知函数，，当时，方程 根的个数是（　　） A．8        B．6          C．4        D．2 参考答案： B ：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，00，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如图：                     结合图象可知，有6个交点；故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若， 则       ； 参考答案： 略 12. 已知函数f(x)＝，若函数的图象关于点对称，且则的值为________． 参考答案： 13.  数列中，，则          参考答案： 14. 若复数（是虚数单位），则的模=         . 参考答案： 略 15. 复数=______ 参考答案： 16. 设直线x+my-1=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则实m的值是          . 参考答案： 由圆的方程可知圆心坐标为，半径为2，因为弦AB的长为，所以圆心到直线的距离。即，所以解得。 17. 若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________． 参考答案： 【知识点】向量的夹角  F3 解析：，即，所以， ，的夹角为，故答案为. 【思路点拨】由可得，所以夹角为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前3项和＝9，且成等比数列. （1）求数列的通项公式和前n项和； （2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值. 参考答案： （1）设， 由＝9得：①；……2分 成等比数列得：②；联立①②得；……4分 故………………………………6分 （2）∵…………………………8分 ∴………………………………10分 由得： 令，可知f(n)单调递减，即………………………………12分 19. 选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．点 P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值． 参考答案： 化简为， 则直线l的直角坐标方程为．           …………4分 设点P的坐标为，得P到直线l的距离， 即，其中．            ………8分 当时，．      ……………10分 略 20. 在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（α为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为. （1）求圆C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程； （2）设C1与的交点为P，Q，求△C1PQ的面积. 参考答案： （Ⅰ）直线的直角坐标方程为 圆的普通方程为因为, 所以 的极坐标方程为 （Ⅱ）将代入,得, 解得,故,即. 由于圆的半径为2,所以的面积为2 21. 本小题满分13分） 已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若(为坐标原点），求的值； (Ⅲ)若点的坐标是，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（I）半椭圆的离心率为，,          ………………………………………………………………2分    设为直线上任意一点，则，即    ，    ……………………………4分   又，   ………………………6分 （II）① 当P点不为（1,0）时，， 得，  即               设，    ……………………………………8分 ==   …………………………………………9分 =     ……………………………………10分    ………………………………………………11分 ②当P点为（1,0）时，此时，.  …………………………………12分 综上，由①②可得，面积的最大值为.  略 22. （本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.  （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（I）连接.         由是正方形可知,点为中点.         又为的中点，         所以∥………………….2分         又         所以∥平面………….4分   (II) 证明：由            所以 由是正方形可知,               又            所以………………………………..8分                               又  所以…………………………………………..9分 (III)解法一：  在线段上存在点，使.  理由如下：     如图，取中点，连接.      在四棱锥中，，       所以.…………………………………………………………………..11分      由（II）可知，而      所以，       因为       所以…………………………………………………………. 13分       故在线段上存在点，使. 由为中点，得…………………………………………… 14分  解法二： 由且底面是正方形，如图， 建立空间直角坐标系      由已知设， 则 设为线段上一点，且，则 …………………………..12分 由题意，若线段上存在点，使，则，. 所以，， 故在线段上存在点，使，且…………………… 14分