江苏省南京市第三十九中学高一数学理期末试卷含解析

江苏省南京市第三十九中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是 A．          B．          C．          D． 参考答案： A 略 2. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A、           B、              C、                D、 参考答案： D 略 3. 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（    ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 参考答案： A 【分析】 设甲胜的概率为，乙胜的概率为，和棋的概率为，根据甲胜、乙胜和列方程组可解得． 【详解】设甲胜的概率为，乙胜的概率为，和棋的概率为， 则，两式相加得，又， 所以 故选A． 【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算公式，属基础题． 4. 某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5000元降到2560元，则平均每次降价的百分率是（　　） A．10% B．15% C．16% D．20% 参考答案： D 【考点】函数的值． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】设降价百分率为x%，由题意知5000（1﹣x%）2=2560，由此能够求出这种手机平均每次降价的百分率． 【解答】解：设降价百分率为x%， ∴5000（1﹣x%）3=2560， 解得x=20． 故选：D． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，寻找数量关系，建立方程． 5. 设X=，Y=，Z=，则=（   ） A. {1，4}    B.{1，7}    C. {4，7}     D.{1，4，7} 参考答案： D 6. 若a=20.5，b=logπ3，c=log2，则有（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用对数和指数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，＜log21=0． ∴a＞b＞c． 故选：A． 【点评】本题考查了对数和指数函数的单调性，属于基础题． 7. 若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是     A．直角三角形               B．等边三角形        C．等腰三角形          D．等腰直角三角形 参考答案： B 8. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（    ） ⑴，； ⑵，； ⑶，； ⑷，； ⑸，。 A．⑴、⑵   B．⑵、⑶   C．⑷   D．⑶、⑸   参考答案： C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同； （4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同； 9. 设，若存在使则实数的取值范围是（   ） A．     B．       C．   D． 参考答案： C 略 10. 下列函数中，与函数y=x相同的函数是                                                                  (    ) A．                          B． C．                       D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数+-函数-，若存在使得成立，则实数的取值范围是          . 参考答案： 略 12. 已知向量，， （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与向量的夹角。 参考答案： 解：（Ⅰ），，且 ..........................6分 （Ⅱ），， ， 设向量与向量的夹角为 ，..........................12分   略 13. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数m取值集合为   ▲  ． 参考答案： {4，1，﹣1} 14. 在等差数列{an}中,，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当时，Sn取最大值,则d的取值范围是          ． 参考答案： 15. 集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的最大值为　   　． 参考答案： 2 【考点】并集及其运算． 【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围，即可求出a的最大值． 【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤1， ∴1＜a≤2； 当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R； 当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立， ∴a＜1； 综上，a的取值范围是（﹣∞，2]． 则a的最大值为2， 故答案为．2． 16. 函数y=的值域是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【考点】函数的值域． 【专题】计算题． 【分析】本题利用分离的方法来求函数的值域，由函数的解析式分离出2x的表达式，利用2x＞0来求解y的取值范围，进而求出函数的值域． 【解答】解：由已知得：，由2x＞0得 所以有：y＞1或y＜﹣1． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【点评】本题考查了函数的三要素﹣﹣值域，指数函数的性质，分离法求函数的值域． 17. 设数列则是这个数列的第   项。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）已知数列{an}的首项a1=1，且满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出． （2）由（1）知：cn==n?3n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：（1）由满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）． 整理得﹣=1， ∴数列是等差数列，首项与公差都为1． ∴=1+（n﹣1）=n， ∴an=． （2）由（1）知：cn==n?3n， ∴数列{cn}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n?3n， ∴3Sn=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1， ∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣， ∴Sn=×3n+1+． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题． 　 19. 已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}． （Ⅰ）若a=2，求A∩（?RB）； （Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合． 【分析】（Ⅰ）若a=2，求出A，?RB，即可求A∩（?RB）； （Ⅱ）若A∪B=B，则A?B，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵log2x≥1，∴x≥2，即A=[2，+∞）， ∵a=2，∴B={x|x＞6}，∴?RB=（﹣∞，6]， ∴A∩（?RB）=[2，6]； （Ⅱ）∵A∪B=B，∴A?B， ∵A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}， ∴a+4＜2， ∴a＜﹣2． 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题． 20. （12分）已知函数其中     （1）求函数的定义域；     （2）若函数的最小值为，求的值。 参考答案： （1）由 解得         ∴函数的定义域为        由 得 ∴ 21. 已知，，且 （1）求函数f(x)的解析式； （2）当时，f(x)的最小值是－4，求此时函数f(x)的最大值，并求出函数f(x)取得最大值时自变量x的值 参考答案： （1）（2） 试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值 试题解析：（1） 即 （2）由，，， ， ， 此时， 考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质 22. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=AD (I）求证：MN//平面PCD； (II）求证：平面PAC⊥平面PBD； 参考答案： （1）取AD中点E，连接ME，NE. 由已知M，N分别是PA，BC的中点. ∴ME//PD，NE//CD 又ME，平面MNE.. 所以，平面MNE//平面PCD. MN平面MNE 所以，MN//平面PCD (Ⅱ）因为四边形ABCD为正方形. 所以AC⊥BD. 又PD⊥平面ABCD.AC平面ABCD所以PD⊥AC. 又BDPD=D. 所以AC⊥平面PBD. AC平面PAC 所以平面PAC⊥平面PBD