江苏省宿迁市翰林中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

江苏省宿迁市翰林中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列四个命题中的真命题为（    ） A.，使得           B.，总有 C.，，                  D. ，， 参考答案： D 略 2. 若数列{an}满足，，则的值为（   ） A．2                 B．-3                  C． D． 参考答案： B ， ，所以 故数列 是以4为周期的周期数列，故 故选B. 3. 已知i是实数集，复数z满足，则复数z的共轭复数为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 将化为 ，对其进行化简得到，利用共轭复数的性质得到 。 【详解】可化为 的共轭复数为 故选C。 【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。 4. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是  （   ）   A.               B.   C.                D. 参考答案： A 略 5. 已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(  ) A.          B.          C.         D. 参考答案： B 6. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有(       )   A．1个              B．2个           C．3个          D．4个 参考答案： B 略 7. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则一定有（    ）     A．                 B．                 C．                 D．   参考答案： B 略 8. “”是“函数有零点”的（   ） A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件  C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 9. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　) （A）            （B）         （C）            （D） 参考答案： A 10. 已知直线与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是                （    ）        A．               B．            C．                  D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若长方体的长、宽、高分别为1、2、3，则该长方体的外接球的表面积为 . 参考答案： 14π 12. 过点P（3,2），并且在两轴上的截距相等的直线方程为_______. 参考答案： 略 13. 若f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数，则a的取值范围是              . 参考答案： 略 14. 空间中一点出发的三条射线，两两所成的角为，在射线上分别取点，使 ，则三棱锥 的外接球表面积是______________. 参考答案：   略 15. 方程表示曲线，给出以下命题： ①曲线不可能为圆； ②若，则曲线为椭圆； ③若曲线为双曲线，则或； ④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则. 其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)． 参考答案： 16. 如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则 （1）；（2） 参考答案： (1)；(2) 本题考查几何概型，条件概率公式同时考查圆面积和正方形面积的计算，难度中等。（1）圆的面积为，圆内接正方形面积为所以。（2）扇形区域OHE的面积为，所以,，则,所以。 17. 记为一个位正整数，其中都是正整数，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为．____________． 参考答案： 252 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分） 已知函数和的图象关于原点对称，且．    (Ⅰ)求函数的解析式；    (Ⅱ)解不等式；    (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围． 参考答案： 解析：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y), 则即∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上, ∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x (Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解, 当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,] (Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1 ①     当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1 ②     当λ≠-1时,对称轴的方程为x=. (i)                  当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1. (ii)                当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0. 综上,λ≤0   19. 如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB． （Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）； （Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，联立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距． （Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB， ∴∠AOB=90°，∴， ∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*） 联立，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0， 则，x1x2=，且△＞0，代入（*） 从而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0， ∴，∴t=±， ∴直线l在y轴上的截距为或﹣． （Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d， 而由（1）知d=，且|AB|= ===， ∴≤， 当时，，解得k=，∴t=， ∴所求直线方程为y=或y=． 20. 某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表： 题 A B C 答卷数 180 300 120 （Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？ （Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率； （Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（I）由=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出； （II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出； （Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．利用P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得： 题 A B C 答卷数 180 300 230 抽出的答卷数 3 5 2 应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份． （Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）==． （Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=0）=， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P ∴E（X）=np==． 【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1， （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知直线与交于两点，是线段的中点，若，求点到 直线距离的最小值及此时点的直角坐标． 参考答案： (1) (2) 点到直线距离的最小值是3，此时点 22. （16分） 设，，函数 （1）用五点作图法画出函数在一个周期上的图象； （2）求函数的单调递减区间和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集; （4）如何由的图象变换得到的图象. （1）                                     参考答案： （１）     -----7分