江苏省南京市第十三中分校2023年高一数学文下学期期末试题含解析

江苏省南京市第十三中分校2023年高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图像 A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 参考答案： A 2. 设，向量且，则(　 ) A.                  B.                  C．2            D．10 参考答案： B 3. 给出下列结论，其中判断正确的是  (　  ) A．数列前项和，则是等差数列 B．数列前项和，则 C．数列前项和，则不是等比数列 D．数列前项和，则ks5u 参考答案： D 略 4. （5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（?US）∪T等于（） A． {2，4} B． {4} C． ? D． {1，3，4} 参考答案： A 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 利用集合的交、并、补集的混合运算求解． 解答： ∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}， ∴（?US）∪T={2，4}∪{4}={2，4}． 故选：A． 点评： 本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题． 5. 已知函数在区间上是减函数， 则实数的取值范围是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 略 6. 已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（　　）个． A．6个 B．4个 C．7个 D．8个 参考答案： A 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种 情况，研究方程跟的个数，从而得出结论． 【解答】解：∵函数， 令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数； 在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数． 故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R． 由函数g（x）的图象可得，当x=﹣3或x=时，g（x）=1． ①当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则： f（x）=﹣3，此时方程有2个根，或f（x）=，此时方程有3个根， 故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根． ②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则： f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根 故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根． ③当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（，+∞）， 方程可能有4个、5个或6个根． 故方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有6个， 故选 A． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键，属于中档题． 7. 函数的定义域是 （　 ） A.         B. C.       D. 参考答案： B 略 8. 设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）的元素个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】子集与交集、并集运算的转换． 【分析】先根据并集的定义求出A∪B得到全集U，然后根据交集的定义求出A∩B，最后利用补集的定义求出CU（A∩B）即可求出集合CU（A∩B）的元素个数． 【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5} A∩B={3，4} ∴CU（A∩B）={1，2，5} 故答案为：C 9. 一个三棱锥的棱长均为2，四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个 截面如图,则图中三角形(三棱锥的截面)的面积是  （      )                   参考答案： 10. 若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围是                                            （    ） A．01 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位对参加岗位培训的员工进行的一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：   (l)参加岗位培训舶员工人数为__________：   (2)在频率分布直方图中，区间 可应的矩形的高为________. 参考答案： 25；0.016. 12. 若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a≥﹣3 【考点】二次函数的性质．  【专题】计算题． 【分析】函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，由1﹣a≤4即可求得a． 【解答】解：∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a， 又函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数， ∴1﹣a≤4， ∴a≥﹣3． 故答案为：a≥﹣3． 【点评】本题考查二次函数的单调性，可用图象法解决，是容易题． 13. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为______ 参考答案： 135° 【分析】 可得出直线的斜率，即，从而求出倾斜角。 【详解】直线的方程为，设其倾斜角为，则斜率 故倾斜角为： 【点睛】由直线求出斜率，再由求出倾斜角即可，属于基础简单题目。 14. 设函数若，则实数的取值范围是______ 参考答案： 15. △ABC中，AC=5， ，则在方向上的投影是          . 参考答案： 在方向上的投影为.   16. 在△ABC中，，，则BC的值为________ 参考答案： 【分析】 由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值. 【详解】因为，， 所以， 所以， 在中，由正弦定理得 ， 所以 . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于简单题. 17. （5分）已知函数，若f（x0）≥2，则x0的取值范围是             ． 参考答案： x0≤﹣1或x0≥2 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题． 专题： 压轴题． 分析： 分x≤0和x＞0两种情况求解．x0≤0时，f（x0）==≥2；x0＞0时，f（x）=log2（x0+2）≥2，分别求解． 解答： x0≤0时，f（x0）==≥2，则x0≤﹣1， x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）≥2，解得x0≥2 所以x0的范围为x0≤﹣1或x0≥2 故答案为：x0≤﹣1或x0≥2 点评： 本题考查分段函数、解不等式、指对函数等知识，属基本题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，求的值． 参考答案： 解：∵， ∴。 ∴   19. 已知函数的部分图象如图所示： （I）求的解析式及对称中心坐标； （Ⅱ）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值． 参考答案： (Ⅰ) ；对称中心的坐标为() (Ⅱ)见解析 【分析】 （I）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图像上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.（II）求得图像变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值. 【详解】解：（I）由图像可知：,可得： 又由于,可得：,所以 由图像知,,又因为 所以,.所以 令(),得：() 所以的对称中心的坐标为() （II）由已知的图像变换过程可得： 由的图像知函数在上的单调增区间为, 单调减区间 当时,取得最大值2；当时,取得最小值． 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题. 20. 已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数． （Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域； （Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案； （Ⅱ）化简f（x）+log（x﹣1）为log2（1+x），由x的范围求其值域得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵知函数f（x）=log2是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴， 即， ∴a=1． 令，解得：x＜﹣1或x＞1． ∴函数的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1}； （Ⅱ）f（x）+log2（x﹣1）=log2（1+x）， 当x＞1时，x+1＞2， ∴log2（1+x）＞log22=1， ∵x∈（1，+∞），f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立， ∴m≤1， m的取值范围是（﹣∞，1]． 【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 21. 对于给定的正整数，．对于，，有： （）当且仅当，称． （）定义． （Ⅰ）当时，，请直接写出所有的，满足． （Ⅱ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值． 参考答案： 见解析 解：（Ⅰ），，，． （Ⅱ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，则中任意两个元素相同位置不能同时出现，满足这样的元素有，，，共有个． 故中元素个数的最大值为． （Ⅲ）不妨设其中，，， 显然若，则， ∴与不可能同时成立， ∵中有个元素， 故中最多有个元素． 22. (本小题满分9分）   已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点. （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的值. 参考答案： (1) ；(2) . 考点：1、直线与圆的位置关系；2、圆的弦长公式. 【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，综合程度高，属于较难题型.解第一小题时要注意计算检验，防止因为计算错误造成不必要的失分，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：1、联立方程用判别式符号判断位置关系，2、利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断；解第二小题也有两种方法1、，.