(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题8.5《直线、平面垂直的判定及性质》(解析版)

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 新课程考试要求 1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理； 2. 掌握公理、判定定理和性质定理. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等. 考向预测 （1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明. （2）利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题. （3）本节是高考的必考内容．预测2020年高考将以直线、平面垂直的判定及其性质为重点，涉及线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用，题型为解答题中的一问，或与平行相结合进行命题的判断.以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力． 【知识清单】 知识点1．直线与平面垂直的判定与性质 定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ⇒l⊥α 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. ⇒a∥b 知识点2．平面与平面垂直的判定与性质 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ⇒β⊥α 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. ⇒AB⊥α 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 【考点分类剖析】 考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质 【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 (1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； (2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】 (1)如图所示，连结AF， 由题意可得：， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面， 而平面，故， 从而有， 从而， 则，为等腰直角三角形， ，. (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则， 又， 故平面，而平面， 从而. 【典例2】（2021·河北易县中学高一月考）在三棱锥中，，，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点. （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 （1）利用勾股定理得出线线垂直，结合等边三角形的特点，再次利用勾股定理得出线线垂直，进而得出线面垂直； （2）根据线面垂直面 ，得出线和面的夹角 ，从而得出线面角的正弦值. 【详解】 （1）由，有，从而有， 且 又是边长等于的等边三角形， . 又，从而有. 又平面. （2）过点作交于点，连. 由（1）知平面，得，又平面 是直线与平面所成的角. 由（1），从而为线段的中点， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为 【规律方法】 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】 1．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面. （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 （1）证明出，，利用线面垂直判定定理可得出结论； （2）设，则为中点，连接，分析可知直线与平面所成的角为，求得的长，分析出为等边三角形，可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法可计算出点到平面的距离. 【详解】 （1）因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，故， 又，故平面； （2）设，则为中点，连接，设到平面的距离为， 因为平面，所以是直线与平面所成的角，于是，因此. 又，故为等边三角形， 所以三角形的面积为， 故三棱锥的体积. 在直角三角形中，，，所以， 平面，平面，则， 则， 所以三棱锥的体积，解得， 所以，点到平面的距离为. 2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求三棱锥的体积． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 (1)证：因为为等边中边的中点， 所以, 又因为在菱形中，， 所以为等边三角形，为的中点， 所以,而, 所以平面. (2)解：由(1)知，面面,所以底面， 因为等边的边长为2，所以, 易知为边长为2的等边三角形， 所以三棱锥的体积为：, 因为是的中点，所以， 所以三棱锥的体积为． 考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质 【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 （1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面； （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得，， 在等腰直角三角形中，， 在中，， 三棱锥的体积为. 【典例4】（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 （1）分别为，的中点， 又 在等边中，为中点，则 又侧面为矩形， 由，平面 平面 又，且平面，平面， 平面 又平面，且平面平面 又平面 平面 平面 平面平面 （2）过作垂线，交点为， 画出图形，如图 平面 平面，平面平面 又 为的中心. 故：，则， 平面平面，平面平面， 平面 平面 又在等边中 即 由（1）知，四边形为梯形 四边形的面积为： ， 为到的距离， . 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2．证面面垂直的思路 (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】 1.在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ） A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 【答案】D 【解析】 在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故， 所以，故， 折起后仍然满足.因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面，因平面，所以. 又因为，，所以平面， 因平面，所以平面平面. 2.（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥中，平面，是线段的中垂线，与交于点，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （1）因为平面，所以． 又因为，，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）因为，，，， 所以由勾股定理得，． 所以， ． 设点到平面的距离为． 由，得， 即， 解得． 【总结提升】 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用 【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α； ③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】 由是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面． 在①中，若，则与相交、平行或异面，故①错误； 在②中，设，因为，所以，又，所以，又，，所以，故②正确； 在③中，若，则与平行或，故③错误； 在④中，设，因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以，故④正确． 故选：C． 【典例6】（2021·浙江）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且． （Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面； （Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）选①选②，都是先证明平面，再证明平面，进而得到平面； （Ⅱ）根据两个线面角相等得出，进而可求，得到三棱锥的体积． 【详解】 （Ⅰ）若选① 证明：∵平面，平面，∴， 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 若选②为中点 证明：∵平面，平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又为等腰直角三角形斜边中点， 则，， ∴平面． （Ⅱ）由平面，平面可知， 与分别为与平面及与平面所成线面角， 所以， 又，，所以． 求得，所以． 【规律方法】 1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条