高考数学点拨：解析几何中求参数取值范围的方法

高考数学点拨：解析几何中求参数取值范围的方法 　　近几年来 ,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中 ,这类问题不仅涉及知识面广 ,综合性大 ,应用性强 ,而且情景新颖 ,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质 ,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时 ,往往抓不住问题关键 ,无法有效地解答 ,这类问题求解的关键在于根据题意 ,构造相关的不等式 ,然后求出不等式的解。那么 ,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2= 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1椭圆x2a2+y2b2=1(a0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0, 0) 求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22) 令y=0得x0=x1+x22?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点 ∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a ∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 例2如图,△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,假设122,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解:依题意有 ∴tanθ=2S ∵122∴1tanθ4 又∵0≤θ≤π ∴π4p 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,那么a的取值范围是() Aa0Ba≤2C0≤a≤2D0p 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解. 解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a 得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0 ∵y02≥0∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+y028恒成立 又∵y02≥0 而2+y028最小值为2∴a≤2选(B) 二、利用判别式构造不等式 在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解. 例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,假设过点Q的直线L与抛物线有公共点,那么直线L的斜率取值范围是() A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4] 分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,那么判别式△≥0 解:依题意知Q坐标为(-2,0),那么直线L的方程为y=k(x+2) 由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0 ∵直线L与抛物线有公共点 ∴△≥0即k2≤1解得-1≤k≤1应选(C) 例5直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B ,求实数k的取值范围. 分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,那么△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式. 解：由得(k2-2)x2+2kx+2=0 ∵直线与双曲线的右支交于不同两点 ,那么 解得-2p 三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式 曲线把坐标平面分成三个区域 ,假设点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：假设P在曲线上 ,那么f(x0,y0)=0;假设P在曲线内 ,那么f(x0,y0)假设P在曲线外 ,那么f(x0,y0)可见 ,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题. 例6椭圆2x2+y2=a2(a0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点 ,求实数a的取值范围. 分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件. 解：依题意可知 ,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。 当A、B同时在椭圆内 ,那么 解得a17 当A、B同时在椭圆外 ,那么 解得0p 综上所述 ,解得06或a17 例7假设抛物线y2=4mx(m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部 ,求实数m的取值范围. 分析:由于焦点(m,0)在圆内部,那么把(m,0)代入可得. 解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部 , ∴(m-2m)2+(0-1)24即m23 又∵m≠0 ∴-30或0p 四、利用三角函数的有界性构造不等式 曲线的参数方程与三角函数有关 ,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程 ,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。 例8假设椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点, 求实数a的取值范围. 分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况. 解：设椭圆的参数方程为(θ为参数) 代入x2=2y得 4cos2θ=2(a+sinθ) ∴a=2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+14)2+178 又∵-1≤sinθ≤1 ,∴-1≤a≤178 例9圆C：x2+(y-1)2=1上的点P(m,n) ,使得不等式m+n+c≥0恒成立 ,求实数c的取值范围 分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围. 解：∵点P在圆上 ,∴m=cosβ,n=1+sinβ(β为参数) ∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin(β+π4)+1 ∴m+n最小值为1-2 , ∴-(m+n)最大值为2-1 又∵要使得不等式c≥-(m+n)恒成立 ∴c≥2-1 五、利用离心率构造不等式 我们知道 ,椭圆离心率e∈(0,1) ,抛物线离心率e=1 ,双曲线离心率e1 ,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解. 例10双曲线x2-3y2=3的右焦点为F ,右准线为L ,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心 ,求实数k的取值范围. 分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率01,建立相关不等式关系求解. 解：依题意得F的坐标为(2,0) ,L:x=32 设椭圆中心为(m,0) ,那么m-2=c和m-32=a2c 两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2 ∵01 ,∴01,解得m2 , 又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上 , 要练说 ,得练听。听是说的前提 ,听得准确 ,才有条件正确模仿 ,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中 ,注意听说结合 ,训练幼儿听的能力 ,课堂上 ,我特别重视教师的语言 ,我对幼儿说话 ,注意声音清楚 ,上下起伏 ,抑扬有致 ,富有吸引力 ,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时 ,就随时表扬那些静听的幼儿 ,或是让他重复别人说过的内容 ,抓住教育时机 ,要求他们专心听 ,用心记。平时我还通过各种趣味活动 ,培养幼儿边听边记 ,边听边想 ,边听边说的能力 ,如听词对词 ,听词句说意思 ,听句子辩正误 ,听故事讲述故事 ,听谜语猜谜底 ,听智力故事 ,动脑筋 ,出主意 ,听儿歌上句 ,接儿歌下句等 ,这样幼儿学得生动活泼 ,轻松愉快 ,既训练了听的能力 ,强化了记忆 ,又开展了思维 ,为说打下了根底。∴0=km+3,即m=-3k, 宋以后 ,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕〞。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习〞。到清末 ,学堂兴起 ,各科教师仍沿用“教习〞一称。其实“教谕〞在明清时还有学官一意 ,即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授〞和“学正〞。“教授〞“学正〞和“教谕〞的副手一律称“训导〞。于民间 ,特别是汉代以后 ,对于在“校〞或“学〞中传授经学者也称为“经师〞。在一些特定的讲学场合 ,比方书院、皇室 ,也称教师为“院长、西席、讲席〞等。∴-3k2 ,解得-32p 家庭是幼儿语言活动的重要环境 ,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作 ,孩子一入园就召开家长会 ,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长 ,要求孩子回家向家长朗诵儿歌 ,表演故事。我和家长共同配合 ,一道训练 ,幼儿的阅读能力提高很快。上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法 ,希望通过以上的介绍 ,能让同学们了解这类问题. 6 / 6