(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第64讲《求概率统计的综合问题》（讲）（解析版）

第64讲 求概率统计的综合问题 思维导图 题型归纳 题型1 概率模块内知识交汇命题 【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 5 25 20 (1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； (2)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥2”的概率． 【解】　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A， 则P(A)＝＝， 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 1－P(A)＝. (2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2. 由(1)知，P(X＝0)＝，又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，从而X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为p＝＝，由题意知，Y～B， 所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝. 【跟踪训练1-1】2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18～36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下： 微信群数量 频数 频率 0至5个 0 0 6至10个 30 0.3 11至15个 30 0.3 16至20个 a c 20个以上 5 b 总计 100 1 (1)求a，b，c的值； (2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率； (3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望E(X)． 【解】(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35， b＝＝0.05，c＝＝0.35. (2)记“这2 人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则P(A)＝＝， 所以这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为. (3)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P＝. X的所有可能取值为0,1,2,3. 则P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 【跟踪训练1-2】为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案． 方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止． 方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测． (1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率； (2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳． 【解】设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立． (1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝， P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝， 用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数， 则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝. (2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3. 由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝， 所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝， P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝， 所以E(ξ)＝2×＋3×＝. 因为E(ξ)3.841， 所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与拥有驾驶证”有关． (2)由