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第33讲 数列的概念与简单表示（讲）
思维导图
知识梳理
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：
(2)按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
题型归纳
题型1 由an与Sn的关系求通项an
【例1-1】（2019秋•沈阳期中）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+2，则它的通项公式an是 ．
【分析】利用“当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1”即可得出．
【解答】解：当n＝1时，
a1＝S1＝2﹣3+2＝1．
当n≥2时，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣3n+2﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+2]＝4n﹣5．
∴．
故答案为．
【例1-2】（2019春•南康区校级期中）如果数列{an}的前n项和Snan﹣3，那么这个数列的通项公式是 ．
【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：当n＝1时，，解得a1＝6；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化为．
∴数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴．
故答案为．
【跟踪训练1-1】（2020春•杨浦区校级期末）数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2+2n+3，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝ ．
【分析】直接利用前n项和与通项之间的关系即可求解．
【解答】解：因为数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2+2n+3，n∈N*，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n+3﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+3]＝2n+1，
当n＝1时，a1＝S1＝1+2+3＝6不适合上式；
故数列{an}的通项公式an．
故答案为：．
【跟踪训练1-2】（2020•烟台模拟）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2﹣n+1，则数列{an}的通项公式为 ．
【分析】由Sn＝2n2﹣n+1，可得：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，n＝1时，a1＝S1．即可得出数列{an}的通项公式．
【解答】解：由Sn＝2n2﹣n+1，可得：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2﹣n+1﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1]＝4n﹣3，
n＝1时，a1＝S1＝2﹣1+1＝2．
则数列{an}的通项公式为an．
故答案为：an．
【跟踪训练1-3】（2019春•蚌埠期中）数列{an}的前n项和Sn＝3n2﹣5n，则an＝（ ）
A．3n﹣5 B．2n﹣4 C．6n﹣8 D．5n﹣7
【分析】n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，n＝1时，a1＝S1，可得an．
【解答】解：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣5n﹣[3（n﹣1）2﹣5（n﹣1）]＝6n﹣8，
n＝1时，a1＝S1＝3﹣5＝﹣2．对于上式成立．
则an＝6n﹣8．
故选：C．
【跟踪训练1-4】（2019秋•碑林区校级月考）在数列{an}中，已知，其中Sn为{an}的前n项和，则an＝ ．
【分析】由公式可得：n＝1时，a1＝S1；n≥2，Sn﹣Sn﹣1．
【解答】解：①令n＝1时，a1＝S1＝4；
②令n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1
综上所述，，
故答案为：．
【名师指导】
1．已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型2 由数列的递推关系求通项公式
【例2-1】（2019春•南昌期中）已知数列{an}中，a1＝﹣1，且an+1＝an+3n﹣1，则数列的通项公式an＝ ．
【分析】因为an+1＝an+3n﹣1，所以an+1﹣an＝3n﹣1，利用累加法可以求出数列{an}的通项公式．
【解答】解：依题意，因为an+1＝an+3n﹣1，所以an+1﹣an＝3n﹣1，所以
等式左右两端相加得：an﹣a1＝2+5+……+（3n﹣4），（2+5+……+（3n﹣4）为首项为2公差为3的等差数列的前（n﹣1）项的和）
又因为a1＝﹣1，
所以an．
故填：．
【例2-2】（2019春•舒城县期末）已知数列{an}中，a1＝1，an+1，则{an}的通项公式an＝ ．
【分析】将所给的式子变形得：﹣2an+1•an＝an+1﹣an，两边除以an+1•an后，根据等差数列的定义，构造出新的等差数列{}，再代入通项公式求出，再求出an．
【解答】解：由题意得an+1，则﹣2an+1•an＝an+1﹣an，
两边除以an+1•an得，2，
∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，
则an，
故答案为：．
【跟踪训练2-1】（2020春•静安区期末）数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+5，则数列{an}的通项公式an＝
（n∈N*）．
【分析】由题意可得：an+1﹣an＝5，可得数列{an}为等差数列，其公差d为5，根据已知利用等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：∵an+1＝an+5，可得：an+1﹣an＝5，
∴数列{an}为等差数列，其公差d为5，
∵a1＝3，
∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3+5×（n﹣1）＝5n﹣2，n∈N*．
故答案为：5n﹣2．
【跟踪训练2-2】（2020春•徐汇区校级期末）在数列{an}中，若a1＝1，，则an＝ ．
【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．
【解答】解：a1＝1，，
则an+1＝an+3，
∴数列{an}为首项为1，公差为3的等差数列，
∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
故答案为：3n﹣2．
【名师指导】
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
题型3 数列的性质及应用
【例3-1】（2019秋•郑州期中）在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，且，则a2020＝ ．
【分析】法一：通过取n＝1，2，3，4，5，6即可得出周期性．
法二：，an+3＝an+2﹣an+1，可得an+3+an+2＝an+1﹣an+an+2﹣an+1，可得an+3＝﹣an，可得an+6＝﹣an+3＝an，即可得出{an}周期为6，即可得出．
【解答】解：法一：令n＝1，则a3＝a2﹣a1＝5﹣1＝4；
令n＝2，则a4＝a3﹣a2＝4﹣5＝﹣1；
令n＝3，则a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣4＝﹣5；令n＝4，则a6＝a5﹣a4＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4；
令n＝5，则a7＝a6﹣a5＝﹣4﹣（﹣5）＝1；
令n＝6，则a8＝a7﹣a6＝1﹣（﹣4）＝5；
∴数列{an}为周期为6的周期数列，
∴a2020＝a336×6+4＝a4＝﹣1．
法二：①，
an+3＝an+2﹣an+1②，
①+②得an+3+an+2＝an+1﹣an+an+2﹣an+1，
∴an+3＝﹣an，∴an+6＝﹣an+3＝an，{an}周期为6，
∴a2020＝a336×6+4＝a4，
∴由a1＝1，a2＝5，得a3＝4，a4＝﹣1．
【例3-2】（2020春•温州期末）设数列{an}满足，若数列{an}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．
【分析】根据数列递增得到an+1＞an，利用不等式的性质即可得到结论．
【解答】解：⇒an＝n，
若{an}递增，则an+1＞an，
即n+1n，
则λ＜n（n+1），
∵n∈N*，
∴n（n+1）≥2，
则λ＜2，
故答案为：（﹣∞，2）．
【例3-3】（2020春•南昌月考）已知，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是（ ）
A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a12，a11
【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得an1，结合函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，an1，
当n≤11时，数列{an}递减，且an＜1，
当n≥12时，数列{an}递减，且an＞1，
故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；
故选：D．
【跟踪训练3-1】（2020春•山西月考）已知数列{an}的通项公式为an＝（3n+7）×0.9n，则数列{an}的最大项是（ ）
A．a5 B．a6 C．a7 D．a8
【分析】作差利用单调性即可得出．
【解答】解：an+1﹣an＝（3n+10）×0.9n+1﹣（3n+7）×0.9n＝0.9n（）≤0，解得：n．
可得最大项为a7．
故选：C．
【跟踪训练3-2】（2020春•九龙坡区期末）已知数列{an}的通项公式为an＝﹣2n2+λn（n∈N*，λ∈R），若{an}是递减数列，则λ的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]
【分析】数列{an}是递减数列，可得an＞an+1，化简解出即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是递减数列，
∴an＞an+1，
∴﹣2n2+λn＞﹣2（n+1）2+λ（n+1），
解得λ＜4n+2，
∵数列{4n+2}单调递增，
∴n＝1时取得最小值6，
∴λ＜6．
故选：C．
【跟踪训练3-3】（2019秋•海淀区校级月考）如表定义函数f（x）：
x
1
2
3
4
5
f（x）
5
4
3
1
2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f（an﹣1），n＝2，3，4，…，则a2019的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【分析】探究出数列的周期性即可得出．
【解答】解：a1＝4，an＝f（an﹣1），
所以a2＝f（a1）＝f（4）＝1，
a3＝f（a2）＝f（1）＝5，
a4＝f（a3）＝f（5）＝2，
a5＝f（a4）＝f（2）＝4，
a
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