资源描述
2022-2023学年度第一学期第一次质量检测
九年级数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．xy+1＝0
2．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
3．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（ ）
A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
4．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
5．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
6．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善，等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014与2015年这两年的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4（1+x）2＝4.5 B．1.4（1+2x）＝4.5
C．1.4（2+x）＝4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5
7．若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（共8小题）
9．如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a+2019的值为 ．
10．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
12．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，B，C，D均在小正方形的顶点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过B，C，D三点的圆的半径为 ．
13．关于x的方程x2﹣4x+1＝﹣2m有两个相等的实数根，则m＝ ．
14．同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，可列方程为 ．
15．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半径为2，P为⊙A上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是 ．
三．解答题（共10小题）
17．用恰当的方法解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
18．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
19．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
21．阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求xy的值；
（3）已知Rt△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
23．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量；商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？
24．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为16m，拱高CD为4m．设拱桥所在圆心为O，求拱桥的半径．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 cm2；
（2）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
26．阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴+＝＝＝＝﹣3．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． B．2． D．3． D．4． B．5． A．6． A．7． A．8． D．
二．填空题（共8小题）
9． 2023．10． m＜0．11． 51°．12． ．13． ．
14． x（x﹣1）＝45．15． x1＝﹣2，x2＝﹣1．16． 3.5．
三．解答题（共10小题）
17．（1）x1＝﹣3，x2＝1；（2）x1＝1，x2＝．
18．解：（1）20°；（2）60°．
19．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2．
20．解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
21．
解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
当∠C＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+5＝12，
当∠B＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+＝7+，
综上，△ABC的周长为12或7+．
22．
解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8．
设圆的半径是R．
则OD＝8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2＝36+（8﹣R）2，
解得：R＝．
∴⊙O的半径为．
23．
解：设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价x元，则“雪容融”类纪念品每个的销售利润为（44﹣x﹣30）元，每天可以售出（20+5x）元，
依题意得：（44﹣x﹣30）（20+5x）＝400，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：当商家将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．
24．
解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，
连接OA．根据垂径定理，得AD＝8m，
设半径为rm，在Rt△AOD中，（r﹣4）2+82＝r2
r＝10
答：拱桥圆弧的半径是10米．
25．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12cm，CD＝AB＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t）cm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，BP＝AB﹣AP＝4cm，CQ＝BC﹣BQ＝8cm，
∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），
故答案为：28；
（2）∵∠A＝90°，
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，
∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，
∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；
解得t1＝6，t2＝，
∴当t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
26．
解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．
故答案为：﹣2，﹣；
（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，
∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，
∴p+2q＝7，2pq＝2，
∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．
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