3高中数学精品讲座：横看成岭侧成峰主角配角都适宜——2022年高考“集合、常用逻辑用语、不等式”专题命题分析

横看成岭侧成峰，主角配角都适宜横看成岭侧成峰，主角配角都适宜 福建省普通教育教学研究室 陈xx 2022年高考“集合、常用逻辑用语、不等式（含不等式选讲）”专题命题分析 目录 01 考查的内容与方式 02 入题的形式与特点 03 复习的思考与建议 考查的内容与方式 考查的内容与方式 PART.01“集合、常用逻辑用语、不等式”部分是每年高考的必考内容，既有独立考查的试题，更有作为解决问题的工具而融入其他内容进行考查的试题.一般而言，独立考查的试题往往仅限于对相关概念的理解及基本运算，难度都比较小，属于简单题系列；而融入其他内容考查的试题主要是体现其工具性的作用，难度视所融入的内容而定，难易度差别较大.集合 集合 试卷试卷 题号题号 分值分值 题型题型 考点考点 全国 甲卷 文科 1 5 选择题 两个集合的交集运算 理科 3 5 选择题 两个集合的并集、补集运算 全国 乙卷 文科 1 5 选择题 两个集合的交集运算 理科 1 5 选择题 两个集合的补集运算 全国新高考卷 1 5 选择题 一元一次不等式、无理不等式求解，两个集合的交集运算 全国新高考卷 1 5 选择题 绝对值不等式求解，两个集合的交集运算 浙江卷 1 4 选择题 两个集合的并集运算 北京卷 1，9 8 选择题 两个集合的补集运算；集合语言的含义 天津卷 1 5 选择题 两个集合的交集、补集运算 上海卷 13 5 选择题 两个集合的交集运算 从题型题量上看，集合考查的试题主要以选择题和填空题形式呈现，难度较低除北京卷外，今年各份试卷依旧都只有1道题，其中全国甲卷理科卷的集合试题位于第3小题，其他试卷均位于选择题的第1小题，且以选择题形式呈现，北京卷与浙江卷的分值分别为8分和4分，其他各卷均为5分 从考点分布上看，集合考查的内容主要有集合的含义和表示、集合之间的基本关系、集合的基本运算，今年主要涉及集合和不等式两个内容的考点.从考查形式上看，主要考查在不同背景下求两个集合的交集、并集和补集运算，全国新高考卷、卷对集合的考查还涉及与不等式知识的交汇，先解不等式，后进行集合的相关运算.从以上对各卷的统计看，集合考查的题型题量、考点分布、考查形式和难度基本上和往年保持不变，试题大都能在教材中的例题和习题中找到原型，很好地保持了命题的连续性和稳定性.常用逻辑用语 常用逻辑用语 试卷试卷 题号题号 分值分值 题型题型 考点考点 全国甲卷、乙卷、新高考 卷、卷均未考查常用逻辑用语知识 浙江卷 4 4 选择题 三角函数的性质、充分条件与必要条件的定义 北京卷 6 4 选择题 等差数列的通项公式、充分条件与必要条件的定义 天津卷 2 5 选择题 整数的定义、充分条件与必要条件的定义 上海卷 16、21 11 选择题，解答题 直线与圆的位置关系、集合的描述法、命题的含义、命题及其逆命题的真假判断 从题型题量上看，常用逻辑用语历年考查的试题主要以选择题和填空题形式呈现，今年地方卷中浙江卷、北京卷、天津卷保持以选择题的形式呈现，分值为别为 4 分、4 分、5 分，上海卷中均在压轴题出现，为选择题的第 16 题和解答题第 21 题的第（2）小题，分值约为 11 分.从考点分布上看，常 用逻辑用语考查的主要内容有必要条件、充分条件、充要条件的定义，简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；全称量词与存在量词的意义，以及对“它们”的否定今年地方卷主要涉及充分条件与必要条件、三角函数、等差数列、直线与圆、集合等考点.从考查形式上看，地方卷试题都是以其他知识板块为载体，除上海卷考查命题外，其他卷都是交汇其他知识来考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，先处理交汇的知识，后利用定义判断 从以上对各卷的统计看，常 用逻辑用语考查的题型题量、考点分布、考查形式和难度基本上保持不变，要引起注意的是，今年仅地方卷涉及这部分的内容，全国卷均未涉及，但往年全国卷在这一部分是有体现的 不等式（含不等式选讲）不等式（含不等式选讲）试卷试卷 题号题号 题量题量 题型题型 考点考点 全国 甲卷 文科 1、2、12、15、16、20、23 7 选择题、填空题，解答题 柯西不等式、集合、函数、三角函数、导数、圆锥曲线、概率统计 理科 2、11、12、16、21、23 6 选择题、填空题，解答题 柯西不等式、三角函数（3 题）、导数、概率统计 全国 乙卷 文科 1、5、7、11、12、20、23 7 选择题，解答题 均值不等式、线性规划、集合、程序框图、导数（2 题）、立体几何 理科 4、6、9、10、16、21、23 7 选择题、填空题，解答题 均值不等式、程序框图、导数（2 题）、数列、立体几何、概率统计 全国新高考卷 1、6、7、8、11、15、17、18、22 9 单选题、多选题、填空题，解答题 集合、函数、导数（2 题）、数列、三角函数（2题）、圆锥曲线、立体几何 全国新高考卷 1、10、12、13、15、17、22 7 单选题、多选题、填空题，解答题 均值不等式、集合、导数、数列、直线与圆、圆锥曲线、概率统计 浙江卷 3、4、8、9、10、14、17、20、21、22 10 选择题、填空题，解答题 绝对值不等式、线性规划、常用逻辑用语、平面向量、函数、导数、数列（2 题）、圆锥曲线、立体几何 北京卷 1、6、9、10、11、14、15、20、21 9 选择题、填空题，解答题 集合、常用逻辑用语、平面向量、函数（2 题）、导数、数列（2 题）、立体几何 天津卷 5、9、15、20 4 选择题、填空题，解答题 函数（2 题）、三角函数、导数 上海卷 6、12、14、18、19、20、21 7 选择题、填空题，解答题 线性规划、函数、集合、均值不等式、不等式解法、三角函数、圆锥曲线、数列、常用逻辑用语 不等式考点：解不等式、均值不等式、线性规划、含绝不等式考点：解不等式、均值不等式、线性规划、含绝对值不等式、柯西不等式对值不等式、柯西不等式 涉及的考点：几乎涵盖高中涉及的考点：几乎涵盖高中数学的所有板块数学的所有板块 从题型题量上看，覆盖比较全面，除全国乙卷涉及的题型只有选择题、解答题外，其他试卷所有题型均有覆盖多数试卷中涉及不等式的有7-9 道试题，其中浙江卷与往年一样，对不等式考查分量相对较重，涉及不等式的试题最多，达10道题之多，最少的是天津卷有4道题.不等式的内容有单独考查的，但大部分都是与其他知识交汇考查，在交汇中有的是知识间的融合，有的只是起到工具性作用，所以无法十分准确统计其所占分值 从考点分布上看，单独考查不等式的主要有：不等式的解法、均值不等式、线性规划、绝对值不等式、柯西不等式等，涉及的考点有：集合、常用逻辑用语、程序框图、函数、平面向量、数列、三角、导数、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、概率统计等，几乎涵盖高中数学的所有板块.从考查形式上看，单独考查不等式的试题很少，今年全国新高考卷、天津卷没有这类试题，其他试卷也仅有1-2道这类试题，其中解答题仅全国甲卷、乙卷的选考题（第23题）在考查选修4-5不等式选讲部分出现，涉及考点有均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等，且文理同题；考查不等式与其他知识交汇的试题占了较大的比例，所涉及交汇融合的知识点几乎涵盖了高中数学的各个章节，其中在解答题中，主要是与导数、圆锥曲线、数列、三角函数等相结合，特别是与导数结合时，基本上是压轴题，具有一定的难度 从以上对各卷的统计看，不等式内容考查的题型题量、考点分布和考查形式、难度基本上保持不变，与往年一样涉及各种题型，相关试题难度也是跨越了从简单题到难题，在知识交汇处命题体现了不等式的基础性、工具性和应用性，又适度体现了创新性，试题的不同难度也很好地考查了不同层次学生的基础知识、关键能力和数学学科素养 入题的形式与特点 入题的形式与特点 PART.02 这部分内容在高考试卷中的入题形式一般有两种：一是作为知识考查的载体入题。这类问题，一般难度都相对较小，基本上是独立考查相关部分的基础知识和基本技能，偶尔也会与其他知识进行交汇融合，但这多数仅仅停留在对相关知识与方法层面的考查，难度不会太大。因此以这种方式入题的题目通常表现出“立足基础”与“适度融合”的特点。另一是作为工具考查的载体入题。这类问题，要么作为语言工具入题，要么作为解决问题的计算手段等工具入题，在题眼中一般不会占据主体“位置”，甚至在题目中无法显性看到他们的影子，只是在解决问题的过程中要用到而已。必须注意的是，虽然以这种方式入题的试题，表面上甚至看不到这块知识的存在，但他们在解决问题中的作用却是不容忽视的，甚至是十分重要的。这类试题一般都有一定的难度，它对这部分知识的考查往往也是比较深入的。（2022XG122）已知函数()xf xeax和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列()exf xax的定义域为R，而()exfxa，若0a，则()0fx，此时()f x无最小值，故0a.当lnxa时，()0fx，故()f x在,lna上为减函数，当lnxa时，()0fx，故()f x在ln,a 上为增函数，故min()lnlnf xfaaaa.()lng xaxx的定义域为0,，而11()axg xaxx.当10 xa时，()0g x，故()g x在10,a上为减函数，当1xa时，()0g x，故()g x在1,a上增函数，故min11()1lng xgaa.故 g a为0,上的减函数，而()10g=，故 0g a 的唯一解为1a，故1ln1aaa的解为1a.指数不等式的解法指数不等式的解法 不等式证明不等式证明 分式不等式的解法分式不等式的解法 （2022XG122）已知函数()xfxeax和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 由（1）得e()xxf x 在,0单调递减，在0,单调递增，最小值为 1；()lng xxx在0,1单调递减，在1,单调递增，最小值为 1.()=ln2xM xexx在0,有且只有一个实根0 x，且001,x0000e=ln1xxxx.取00 xbex，以下证明yb与e()xxf x 和()lng xxx除了有一个交点0(,)x b外，都还有另一个交点.当0 x时，0Fx，当0 x 时，0Fx，故 F x在,0上为减函数，在0,上为增函数，F x在,0上有唯一实根，记为1x，01110()=0 xxF xexex 当01x时，()0Gx，当1x时，0G x，故 G x在()0,1上为减函数，在1,上为增函数，所以 G x在1,上有唯一实根，记为2x，22200()lnln=0G xxxxx.综上，存在001xbex，使得yb与e()xxf x 和()lng xxx共有三个不同交点，其很横坐标分别为102xxx，即111()=0 xF xexb，222()ln=0Gxxbx，000()=0 xF xexb，000()ln=0Gxxbx.不等式的放缩不等式的放缩 不等式的放缩不等式的放缩 解不等式解不等式 解不等式解不等式 （2022XG122）已知函数()xf xeax和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 综上，存在001xbex，使得yb与e()xxf x 和()lng xxx共有三个不同交点，其很横坐标分别为102xxx，即111()=0 xF xexb，222()ln=0Gxxbx，000()=0 xF xexb，000()ln=0Gxxbx.故1xb为方程ln0 xxb的解，同理0 xb也为方程ln0 xxb的解 集合元素的互异性、无序性集合元素的互异性、无序性 特点特点1 1.立足基础立足基础，体现基础体现基础性性