求逆矩阵的若干方法和举例

求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: 阶矩阵为可逆，如果存在阶矩阵，使得，这里是阶单位矩阵，此时，就称为的逆矩阵，记为，即： 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 使 （1） 则= （2） 把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n阶矩阵（A，E），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 （A，E）=（，A，）=（E， ） （3） 这样就可以求出矩阵A的逆矩阵。 例 1 . 设A= 求。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： 于是= 说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。 方法 二. 伴随矩阵法 定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而=，（d=0） (4) 我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。 例 2. 求矩阵A的逆矩阵：已知A= 解：d==9+6+24-18-12-4=20 =2 =-3 =2 =6 =-6 =2 =-4 =5 =-2 用伴随矩阵法，得 == 说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。 方法 三. 矩阵分块求逆法 在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。 引出公式： 设T的分块矩阵为：T= , 其中T为可逆矩阵，则 = , （5） 说明：关于这个公式的推倒从略。 例 3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知 W= 解：将矩阵W分成四块，设 A=, B=, C=, D=, 于是 即 = =B=, =C=， 利用公式（5），得 = 方法 四. 因式分解法 若，即（E-A）可逆，且有=， （6） 我们通过上式（6），求出 例 4.求下面矩阵的逆矩阵，已知： A=, 解：因为存在一个K0，使=0，把这里的（E-A）替换（6）式中的“A”，得 = 通过计算得 ==0，即K=4 所以 = =+ = 方法 五.多项式法 我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。 例 5.已知矩阵A=，且A满足多项式f(x)=，即 试证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。 证：由，可得 从而可知A为可逆矩阵，并且 方法 六. 解方程组法 在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。 例 6.求A=的逆矩阵 解：求可逆矩阵A的逆矩阵X，则它满足AX=E，设，则 ， ， 利用消元解法求 （i=1,2,3） 解得： 方法 七. 准对角矩阵的求逆方法 定义：形如 是矩阵 。 A称为准对角矩阵。 其求逆的方法：可以证明：如果都可逆，则准对角矩阵也可逆，且 例 7. 已知 ，求。 解：设=4 求得： 所以 方法八.恒等变形法 　　有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。 例 8.已知 ， 求 ， 其中 ， 解：对已知矩阵等式进行恒等变形，得 于是，，又因为A是正交矩阵，，所以 方法九.公式法 利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。 １） 二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若　　Ａ＝， 则 ２） 初等矩阵求逆公式： ３） 对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵 的逆矩阵为： ４） 正交矩阵的求逆公式： 若A为正交矩阵，则 5）其他常用的求逆公式： 可逆 ，则 例　9. 已知： ， ，求。 解：由于A是初等矩阵，由公式得： 而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：，再由公式得： 到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。 参考文献： [1] 高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。1988.3 [2] 高等代数一题多解200例/ 魏献祝 编 福建人民出版社。 [3] 线性代数学习指导/ 戴宗儒 编 科学技术出版社。 [4] 线性代数解题方法技巧归纳/ 毛纲源 编 华中理工大学出版社。 [5] 数学手册/ 《数学手册》编写组编