第四章特征值问题和矩阵的对角化课件

第四章第四章1 本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。角化的问题。2第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量(一一)矩阵的特征值矩阵的特征值定义定义说明：说明：1、特征值、特征值问题是针对问题是针对方阵方阵而言的；而言的；2、特征、特征向量必须是向量必须是非零非零向量；向量；3、特征、特征向量既依赖于矩阵向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值又依赖于特征值。3特征值与特征向量的计算方法：特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组即要求齐次线性方程组有非零解，有非零解，即方程即方程的根就是矩阵的根就是矩阵A的特征值，的特征值，相应相应非零解非零解即为特征向量。即为特征向量。记记称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式，4称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式，为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程。特征方程的根，即为矩阵特征方程的根，即为矩阵A的特征值。的特征值。记记5计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：6例例1 设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解所以所以A的特征值为的特征值为 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为7相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为8练习练习 设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解所以所以A的特征值为的特征值为 相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为9相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为10例例2设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解所以所以A的特征值为的特征值为 11相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为12相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为13相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为14例例3解解所以所以A的特征值为的特征值为 设设求求A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。15相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为16相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为17练习练习解解18相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为19相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为20练习练习解解21相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为22相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为23 对角阵、上三角阵对角阵、上三角阵、下三角阵，下三角阵，它它们们的特征的特征值值即为即为主主对对角元。角元。24(二二)特征值与特征向量的基本性质特征值与特征向量的基本性质性质性质1 1证证(2)可推广到多个特征向量。可推广到多个特征向量。25性质性质2 2证证(1)26(2)重复这个过程重复这个过程,可得可得性质性质2 2证证27(3)设设A可逆可逆,矛盾；矛盾；性质性质2 2证证28性质性质3 3证证从而有相同的特征值。从而有相同的特征值。注意：注意：29 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。线性无关。性质性质4 4属于不同特征值的特征向量线性无关。属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况。只证两个特征向量的情况。证证(1)(2)推广推广30例例4多项式多项式证略证略例如例如,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,则则 有一个特征值有一个特征值 7.例例5证证幂等矩阵幂等矩阵31练习：练习：例例4多项式多项式证略证略例如例如,矩阵矩阵A的有一个特征值为的有一个特征值为2,则则 有一个特征值有一个特征值 7.例例5幂等矩阵幂等矩阵32例例6解解由性质由性质2,注注：因为方阵：因为方阵A可逆，所以其所有特征值不等于零。可逆，所以其所有特征值不等于零。33矩阵的特征多项式的性质：矩阵的特征多项式的性质：中出现中出现,故有故有而而常数项等于常数项等于所以所以34比较系数得比较系数得性质性质5 5推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零。的特征值全不为零。trace35例例7解解36矩阵的迹的性质矩阵的迹的性质 证略证略。37第二节第二节 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化(一一)相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义定义 对于对于n阶方阵阶方阵A和和B，若存在若存在n阶阶可逆可逆方阵方阵P，使得使得 则称则称A与与B 相似相似,记为记为例如例如38矩阵的矩阵的“相似相似”关系具有以下特性：关系具有以下特性：(1)反身性：反身性：(2)对称性：对称性：证证(3)传递性：传递性：证证39相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同。从而特征值相同。证证推论推论1 相似矩阵的行列式相等；相似矩阵的行列式相等；推论推论2 相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相等；推论推论3 若矩阵若矩阵A与一个对角阵与一个对角阵相似相似,(对角阵对角阵的特征的特征值值即为即为主主对对角元角元)。40注意：注意：特征值相同的矩阵不一定相似。特征值相同的矩阵不一定相似。但它们不相似，但它们不相似，因为与因为与 E 相似的矩阵只有它自己，相似的矩阵只有它自己，因为对任意可逆阵因为对任意可逆阵P，41相似矩阵的其他性质：相似矩阵的其他性质：相似矩阵的秩相等；相似矩阵的秩相等；若若P,Q为可逆矩阵为可逆矩阵,则有则有42A,B 同为可逆或不可逆同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。及伴随矩阵也分别相似。只证只证(3)，其余证明留作练习。，其余证明留作练习。(1)(2)(3)(4)(5)(6)43例例1解解44(二二)矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵相似的条件 n 阶矩阵阶矩阵 A 与一个对角阵相似的充分必要条与一个对角阵相似的充分必要条件是件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵称该矩阵可以可以(相似相似)对角化对角化。证证 必要性：必要性：设设A与一个对角阵相似与一个对角阵相似,即存在一个可逆即存在一个可逆阵阵P,使使45必要性得证。必要性得证。上述步骤倒过来写上述步骤倒过来写,即得充分性证明。即得充分性证明。46推论推论1 如果矩阵如果矩阵A的特征值互不相同，则的特征值互不相同，则A必可对角化。必可对角化。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。注意注意：这个：这个条件是充分的而不是必要的。条件是充分的而不是必要的。如果如果 A 的特征方程有的特征方程有重根重根，此时不一定有，此时不一定有 n 个线性无个线性无关的特征向量，从而矩阵关的特征向量，从而矩阵 A 不一定能对角化；但如果不一定能对角化；但如果能找到能找到 n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，A 还是能对角化。还是能对角化。47解解例例248特征向量特征向量特征向量特征向量49特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量5051例例3解解特征向量特征向量可对角化可对角化,52特征向量特征向量53例例4解解只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量,所以不能对角化。所以不能对角化。54一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵 A 能能对角化，即存在可逆阵对角化，即存在可逆阵 P，使得使得 则则于是于是转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。55例例5解解56相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为57相应齐次线性方程组的基础解系为相应齐次线性方程组的基础解系为585960练习练习解解设设 6162第三节第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量(一一)向量内积向量内积定义定义 给定给定 Rn 中向量中向量实数实数 63向量的内积具有如下基本特性：向量的内积具有如下基本特性：64向量的长度：向量的长度：定义定义例例165向量的长度具有如下性质：向量的长度具有如下性质：证略证略66长度为长度为1 1的向量称为单位向量。的向量称为单位向量。例例2证证67(二二)正交向量组正交向量组 定义定义显然零向量与任何向量都正交，即显然零向量与任何向量都正交，即 68例例3解解将其单位化，得将其单位化，得 69定义定义70定理定理证证与上式两端作内积，得与上式两端作内积，得 71上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件交向量组的必要条件。但定理显然不是可逆的但定理显然不是可逆的。72施密特正交化方法施密特正交化方法73例例4解解将向量将向量组组标标准正交化准正交化。74再单位化再单位化,75练习练习 将向量将向量组组正交化正交化。解解76解解练习练习 将向量将向量组组正交化正交化。77(三三)正交矩阵正交矩阵 定义定义 若若 n 阶实矩阵阶实矩阵 Q 满足满足 则称则称 Q 为为正交矩阵正交矩阵。例例1 单位矩阵单位矩阵 E 是是正交矩阵。正交矩阵。例例2所以所以 Q 是一个正交矩阵。是一个正交矩阵。78例例3 在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标变换公式为变换公式为 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 79正交矩阵的基本性质：正交矩阵的基本性质：(3)若若 P 与与 Q 都是都是 n 阶正交矩阵阶正交矩阵,则则 PQ 也是也是 n 阶正交矩阵阶正交矩阵.逆命题也对；逆命题也对；证证所以所以 P Q 是正交矩阵是正交矩阵。80例例4 4 证证81例例5 5 证证是是对对称正交称正交阵阵.故故A为对为对称称阵阵；即即A为为正交正交阵阵。82定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 Q 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 Q的列的列(行行)向量组是标准正交组。向量组是标准正交组。证证所以所以即即Q的列向量组是标准正交组；的列向量组是标准正交组；利用利用即得行向量组的情况。即得行向量组的情况。83Q 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(4)Q 的列向量是两两正交的单位向量；的列向量是两两正交的单位向量；(5)Q 的行向量是两两正交的单位向量。的行向量是两两正交的单位向量。84例例6 验证矩阵验证矩阵是正交矩阵。是正交矩阵。P 的每个列向量都是单位向量，且两两正交，的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以所以 P 是正交矩阵。是正交矩阵。解解85(四四)实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。定理定理并非所有方阵都可对角化并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化。但是实对称矩阵必可对角化。证证证略证略实对实对称矩称矩阵阵的属于不同特征的属于不同特征值值的特征向量彼此正交的特征向量彼此正交。定理定理只证两个特征向量的情况。只证两个特征向量的情况。86定理定理证略证略具体计算步骤如下：具体计算步骤如下：(1)求出求出实对实对称矩称矩阵阵A的全部特征的全部特征值值；(2)若特征若特征值值是是单根单根，则则求出一个求出一个线线性无关的特征性无关的特征向量，并加以向量，并加以单位化单位化；若特征若特征值值是是重根重根，则则求出重求出重数数个个线线性无关的特征性无关的特征向量，然后用向量，然后用施密特正交化施密特正交化方法化方法化为为正交正交组组，再，再单单位化；位化；(3)将将这这些两两正交的些两两正交的单单位特征向量按位特征向量按列列拼起来，就拼起来，就得到了正交矩得到了正交矩阵阵Q。87例例1解解再再单单位化位化,88于是于是所求所