数学建模竞赛气温分布问题研究

数学建模竞赛气温分布问题研究 题 目 气温分布问题研究 关 键 词 太阳辐射能 太阳高度角 热辐射定律 牛顿冷却公式 matlab软件 摘要 本文通过研究太阳辐射强度对温度的影响，从而对不同地点的温度进行探讨。 问题一：本文首先研究不同纬度下的太阳辐射强度的与纬度的关系，推导出地面吸收太阳辐射能的计算公式，并利用热平衡原理以及热辐射相关定律，总结出不同纬度地区春分日的最高温度的计算模型：，考虑海拔因素后，利用matlab软件得到该区域温度分布图（伪彩色图、温度等高线图、温度曲面图）。 问题二：利用问题一得到的地面吸收太阳辐射能计算式，在冷空气影响下，考虑对流与辐射散失的热量，利用牛顿冷却公式和热平衡原理建立该情况下的温度模型，同样利用matlab软件拟合出该区域的温度分布图。 本文建立的温度模型计算简便，图像合理。 一 模型假设 1、 本文考虑的气温影响因子只考虑该地区所接收的太阳辐射能； 2、 本文计算的温度是在晴朗天气得出的。 二 符号说明 太阳入射角：太阳光线与地面法线之间的夹角； 太阳高度角：从地面某一观察点像太阳中心作一条射线，该射线在地面上有一投影线，这两线之间夹角； 太阳赤纬角：午时太阳光线与地球赤道平面的夹角； 太阳时角：太阳午时，上午为负，下午为正，每小时相当于15度。（其余符号在文中指出） 三 模型建立与求解 问题一 空气温度也就是气温，是表示空气冷热程度的物理量。空气中的热量主要来源于太阳辐射，太阳辐射到达地面后，一部分被反射，一部分被地面吸收，使地面增热；地面再通过辐射、传导和对流把热传给空气，这是空气中热量的主要来源。所以说，影响气温的主要因素是太阳辐射强度，太阳光热并不能直接使气温升高。空气中的各种气体直接吸收阳光的热能只占据一小部分，地面吸收的热量占据较大部分。地面吸收了太阳辐射热量后，再通过辐射、对流、乱流等形式向空气中传导，这种向上输送热量的结果，是使气温增高的主要原因。所以说，地面温度的升高，主要是吸收太阳辐射能量的结果。 本文从太阳辐射强度这个角度出发研究气温。太阳辐射强度取决于太阳高度角、日照长短和日地距离。地面所接收的能量主要是太阳辐射的能量，到达地面的能量主要取决于太阳高度角。 太阳高度角愈大，太阳辐射强度愈大。因为同一束光线照射时，直射时，照射面积最小，单位面积所获得的太阳辐射则多；反之，斜射时，照射面积大，单位面积上获得的太阳辐射则少。太阳高度角还与纬度有关，不同纬度地区太阳高度角不同，一日之中，太阳高度角正午大于早晚；夏季大于冬季；低纬地区大于高纬度地区。日地距离是指地球环绕太阳公转时，由于公转轨道呈椭圆形，日地之间的距离则不断改变。 地球上获得的太阳辐射强度与日地距离的平方呈反比。地球位于近日点时，获得太阳辐射大于远日点。同时，太阳赤纬角也会影响太阳高度角的变化。 根据资料，我们查找出太阳入射角与太阳高度角相关函数 若在春分日，太阳光线直射赤道，即 公式变成 为了计算出日最高温，首先需要了解空气增温的过程。根据空气增温原理，太阳光照射到地面上，晒热了地面，地面吸收的热再放出去烘热空气，空气的温度主要是间接从地面得到的。虽然在中午的时候，太阳光照射地面最接近直射，地面和空气受热量强，但地面放出的热量，少于太阳所供应的热量，所以此时并非是热的时候。中午以后，地面温度仍能继续升高，一直等到地面放出的热量等于太阳所供应的热量时，地面温度才能升到最高；而近地面气温的升高，必须从地面放出的热量得到，这一切都需要时间，因此夏天最热的时候不是中午，而是14时左右的时候。 因此，当气温达到最高时，满足方程 在这段时间，热量达到平衡状态，在此之后，由于支出的热量大于吸收的热量，气温开始下降。 接下来，我们研究太阳给地面所提供的热量，即。单位面积在单位时间内接受的太阳辐射能称之为太阳辐射强度，其单位为，由于大气层对太阳辐射的衰减作用，到达地面上的太阳辐射能有两种：一种是太阳直接辐射；另一种是由大气、灰尘、水滴等散射而来的，成为散射辐射。在天气晴朗时，打打地面的太阳辐射主要是直接辐射，在阴天时主要是散射辐射。在本文中考虑的是直接辐射。 查找相关资料，大气层外的太阳辐射 其中太阳常数，为从元旦算起的天数。 直射到地面的太阳辐射能 其中为大气透过率。 水平地面太阳直射辐射 根据地面所吸收的太阳辐射能 表示地面吸热系数 根据式可得 根据物体表面辐射热能力的大小与表面性质及表面绝对温度有关，根据斯蒂芬-玻尔兹曼定律 积分整理后得： 式成为斯蒂芬-玻尔兹曼定律，它揭示了黑体辐射能力与其表面温度的关系。但在自然界中，黑体是不存在的，它只是用来作为比较的标准。我们把地面看作是灰体，利用克西霍夫定律，得到公式： 在同一温度下，灰体辐射能力与黑体辐射能力之比，定义为物体的黑度（或称为物体的发射率），用表示： 即我们可以得到物体表面温度与辐射热量的关系式： 利用和式，把地面散失即放出的热量近似认为等于其辐射的热量，根据此关系，我们可以把公式化简为： 利用式，并查找相关数据，就可以得到地表温度 其中太阳常数；地面热量吸收率；为从元旦至春分的天数，即；太阳时角的选取在各地的14时，这里所指的时间为太阳时，即；地面表面黑度，我们选用混凝土的表面黑度；为辐射系数，其值为5.67；大气透明度通过查找相关资料获得，在本文中，我们考虑的是晴朗空气，取。 根据以上数据及式，我们只要知道该地的纬度，就可以求出该地区的地表温度。 已知表格数据： 表一 E90 E92.5 E95 E97.5 E100 E102.5 E105 E107.5 E110 E112.5 E115 E117.5 E120 N50 2680 2220 1780 1630 1350 1130 870 685 910 1150 970 740 640 N47.5 1840 1400 1500 1200 900 1090 870 670 N45 1000 1550 1500 1230 1070 980 650 N42.5 1150 2220 2600 1420 1200 1050 530 220 N40 1300 3500 2000 1370 1180 600 5 N37.5 2560 3700 3330 2170 1340 810 120 0 N35 4200 4500 3300 2100 960 330 0 N32.5 4900 3800 3260 3130 1300 230 195 130 N30 4800 2880 1700 1370 3000 3300 2120 1250 680 130 400 480 390 根据上表提供的纬度，利用公式计算得到不同纬度下的地表温度，如下表所示： 表二 纬度 N30 N32.5 N35 N37.5 N40 N42.5 N45 N47.5 N50 温度 28.6 26.6 24.4 22 19.5 16.7 13.6 10.4 7 根据据算得出的结果，我们还绘制了纬度与温度关系的折线图，如下： 很容易看出，随着纬度的增高，温度越来越低，符合实际情况。因为我们所处的位置在对流层下部，对流层下部的温度，随着海拔的增高，所吸收的地面辐射热量越少，空气越稀薄，温度越低。所以，我们考虑海拔对气温的影响 其中，为垂直降温率，在正常气候条件下，高度每上升100米，气温下降，所以；为海拔。 根据上式以及表二提供的数据，我们可以得出不同地区的最高气温，如下表三所示（其中已把海拔换算成温度） 表三 E90 E92.5 E95 E97.5 E100 E102.5 E105 E107.5 E110 E112.5 E115 E117.5 E120 N50 -9.08 -6.32 -3.68 -2.78 -1.1 0.22 1.78 2.89 1.54 0.1 1.18 2.56 3.16 N47.5 -0.64 2 1.4 3.2 5 3.86 5.18 6.38 N45 7.6 4.3 4.6 6.22 7.18 7.72 9.7 N42.5 9.8 3.38 1.1 8.18 9.5 10.4 13.52 15.38 N40 11.7 -1.5 7.5 11.28 12.42 15.9 19.47 N37.5 6.64 -0.2 2.02 8.98 13.96 17.14 21.28 22 N35 -0.8 -2.6 4.6 11.8 18.64 22.42 24.4 N32.5 -2.8 3.8 7.04 7.82 18.8 25.22 25.43 25.82 N30 -0.2 11.32 18.4 14.9 10.6 8.8 15.88 21.1 24.52 27.82 26.2 25.72 26.26 下面，我们通过运用matlaB软件，对表三的数据进行编程处理（程序见附录），得到了该区域春分日最高温度分布图，如下所示： 图一 图一所示的是东经90到120度，北纬30到50区域不同海拔下的温度分布。图一为伪彩色图，颜色越趋近于红色的温度越高，越蓝的区域温度越低。图二如下： 如图二所示，为温度的等高线图，比较清晰的分辨出温度的高低。本文主要借助图三进行分析。 图三 如图三（三维曲面）所示，此图的竖坐标为温度，横纵坐标为纬度和经度。根据图像分析，随着纬度的上升，曲面呈现下降趋势，即温度越低，符合我们的实际情况。在E90到E100，N30到N40区域中，该区域位于青藏高原附近，海拔高，空气稀薄，温度偏低，这从图像可反映出来。在E120，N30区域，海拔较低，处于平原或丘陵地带，温度较高。通过建立三维曲面温度分布图，我们可以容易的看到该区域的温度高低情况。 问题二 由于冷空气入侵加速了空气流动，当地面吸收太阳所提供的能量等于地面放出能量时，温度达到最高，即由问题一式可得 地面放出的热量可以看作是地面散失的热量，即，而散失的热量在冷空气的影响下，一方面与外界空气进行对流换热，另一方面还要与周围环境物体进行辐射换热，所以把散失的热量分为对流方式散失的热量和辐射方式散失的热量之和，即 根据牛顿冷却公式 可得 为对流传热系数，为辐射传热系数，单位为；为以对流方式散失的热量，为以辐射方式散失的热量，单位为；为地表温度，为空气温度。 综合式，可得 与问题一式相结合，可得 查找相关文献 结合式 等式左边的未知参数与式相同，等式右边参数, 根据已知的纬度，利用matlab软件求解上述方程。可求出冷空气入侵后的地表温度。 纬度 N30 N32.5 N3