资源描述
牛吃草问题
教学目标:
1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路.
2. 初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识点拨:
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.
“牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
① 草的每天生长量不变;
② 每头牛每天的食草量不变;
③ 草的总量草场原有的草量新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量每天生长量天数.
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数);
⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数;
⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度);
⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度.
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
例题精讲:
板块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】 青青一牧场,牧草喂牛羊;
放牛二十七,六周全吃光。
改养廿三只,九周走他方;
若养二十一,可作几周粮?
(注:“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。)
【解说】题目翻译过来是:一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完?(注:牧场的草每天都在生长)
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,27头牛吃6周共吃了份;23头牛吃9周共吃了份.第二种吃法比第一种吃法多吃了份草,这45份草是牧场的草周生长出来的,所以每周生长的草量为,那么原有草量为:.
供21头牛吃,若有15头牛去吃每周生长的草,剩下6头牛需要(周)可将原有牧草吃完,即它可供21头牛吃12周.
【巩固】 牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,10头牛吃20天共吃了份;15头牛吃10天共吃了份.第一种吃法比第二种吃法多吃了份草,这50份草是牧场的草天生长出来的,所以每天生长的草量为,那么原有草量为:.
供25头牛吃,若有5头牛去吃每天生长的草,剩下20头牛需要(天)可将原有牧草吃完,即它可供25头牛吃5天.
【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周?
【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”,草的生长速度为,原有草量为,可供(头)牛吃18周
【巩固】 有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么天生长的草量为,所以每天生长的草量为;原有草量为:.
20天里,草场共提供草,可以让头牛吃20天.
【巩固】 一牧场放牛58头,7天把草吃完;若放牛50头,则9天吃完.假定草的生长量每日相等,每头牛每日的吃草量也相同,那么放多少头牛6天可以把草吃完?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位,则每天生长的草量为:,原有草量为:,(头)
【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果要4周吃光野果,则需有多少只猴子一起吃?(假定野果生长的速度不变)
【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“”,则野果的生长速度是,原有的野果为,如果要4周吃光野果,则需有只猴子一起吃
【例 3】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天自然减少的草量为:,原有草量为:;10天吃完需要牛的头数是:(头).
【巩固】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供多少头牛吃12天?
【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 ;
原来牧场有草,
12天吃完需要牛的头数是:(头)或(头)。
【例 4】 一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天.那么每天生长的草量为,原有草量为:.
10头牛和75只羊1天一起吃的草量,相当于25头牛一天吃的草量;25头牛中,若有10头牛去吃每天生长的草,那么剩下的15头牛需要天可以把原有草量吃完,即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天.
巩固:有一片草场,草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完,70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么,17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”,所以可以设一只羊一天的食量为1,那么14头牛30天吃了单位草量,而70只羊16天吃了单位草量,所以草场在每天内增加了草量,原来的草量为草量,所以如果安排17头牛和20只羊,即每天食草88草量,经过天,可将草吃完。
【巩固】 一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,只羊的吃草量等于头牛的吃草量,只羊的吃草量等于头牛的吃草量,所以草的生长速度为,原有草量为,12头牛与88只羊一起吃可以吃(天)
模块二、“牛吃草问题”的变形
【例 5】 一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内.如果10人淘水,3小时淘完;如5人淘水,8小时淘完.如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?
【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”,淘水速度是,原有水量,
要求2小时淘完,要安排人淘水
【巩固】 一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船内,如果3人淘水40分钟可以淘完;6人淘水16分钟可以把水淘完,那么,5人淘水几分钟可以把水淘完?
【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”,分钟的进水量为,所以每分钟的进水量为,那么原有水量为:.5人淘水需要(分钟)把水淘完.
【例 6】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面.从站台到地面有 级台阶.
【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为:
“在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达地面.问:从站台到地面有多少级台阶?”
采用牛吃草问题的方法,电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数:阶,电梯的速度为阶/秒,扶梯长度为(阶)。
【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒。问:该扶梯共有多少级梯级?
【解析】 本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度(女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-男孩每秒走的梯级×男孩走的时间)÷(女孩走的时间-男孩走的时间),自动扶梯的梯级总数=女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-自动扶梯的速度×女孩走的时间(级)所以自动扶梯共有150级的梯级。
【例 7】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀,如果同时打开进水阀及一个排水阀,则分钟能把水池的水排完,如果同时打开进水阀及两个排水阀,则分钟把水池的水排完.问:关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要多少分钟才能排完水池的水?
【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”,那么进水阀1分钟进水量为,水池原有水量为.关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要(分钟)才能排完水池的水.
【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口,水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时,如果打开9个出水口,9小时可以把水排空.如果打开7个出水口,18小时可以把水排空.如果是一满池水,打开全部出水口放水,那么经过 时 分水池刚好被排空.
【解析】 本题是牛吃草问题的变形.
设每个出水口每小时的出水量为1,则进水口每小时的进水量为:,半池水的量为:,所以一池水的量为72.
如果打开全部15个出水口,排空水池所需要的时间为小时,即7小时12分钟.
课后练习:
1、仓库里原有一批存货,以后继续运货进仓,且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓,如果每天用4辆汽车,则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车,则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完?
【解析】 设辆汽车天运货为“”,进货速度为,原有存货为,仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要(天)
2、一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15=240:原有草量+15天生长的草量
100只羊(25头牛) 6天 25×6=150: 原有草量+6天生长的草量
从上易发现:1天生长的草量=10;那么原有草量:150-10×6=90;
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量,其中10头牛去吃新生草,那么剩下的10头牛吃原有草,90只需9天,所以8头牛与48只羊一起吃,可以吃9天。
3、一水库原有存水量一定,河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机?
【解析】 设台抽水机天的抽水量为“”则进水速度为,原有水量为,若要6天抽干,要台同样的抽水机
4、某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以把砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完?
【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为,原有砖的数量为:.
如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩的原有的砖未用,变成人来砌砖,还需要:(天).
5、一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索