山东省青岛市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷

山东省青岛市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷、单选题（共 8 题；共 16分）阅卷人得分1.(2 分)已知集合 4=%eZ|%2 一%一2 W 0,B=xx 1 ,则4 C B=()A.(-1,1)B.-1,0C.1,2 D.1,0,1,2【答案】B2.（2 分）已知i为虚数单位，复 数 曷 的共扼复数在复平面内对应的点位于（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B3.（2 分）现有橡皮泥制作的表面积为4兀的球，若将其重新制作成体积不变，高为1 的圆锥，则圆锥的母线长为（）A.V5 B.2 C.V3 D.1【答案】A4.（2 分）已知角a 的终边上一点P 的坐标为（sin系，cos），则角a 的最小正值为（）A.J B.穹 C.?D.郑0 3 6 3【答案】D5.（2 分）如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门D.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州【答案】C6.（2 分）己知圆2+产+2%-2）/+1=0 截直线“+丫 +2 =0 所得弦的长度为4,则实数a 的值是（）A.-8B.-6C.-4 D.-2【答案】C7.（2 分）抛物线y 2 =1 2%的准线与双曲线奇_1=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A.a=lA.2【答案】C8.（2 分）已知Q =言,A.c b a【答案】DB.V 3 C.3A/3 D.41 Qb s i n ,c%贝 ll（）B.a b c C.a c b D.c a 0）,下列结论正确的是（）A.若/Q）”（-治恒成立，则3的最小值为2B.当=2 时，他兀一仓，上兀+普|（k Z）是单调增区间C.当3 =2 时，/（x）的图象关于（摄，0）对称D.当3 =2 时，/（%）的图象可由y =c o s（2 x -看）的图象向右移亨个单位得到【答案】B,C,D1 1.（2 分）在数列 an 中，若成一 a i=p，（n2,n e N*,p为常数），则称 厮 为“等方差数列”，P 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A.（-I）71 是等方差数列B.若数列 a“既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C.正项等方差数列%的首项%=1,且%,a2,是等比数列，则an=2 n-lD.若等方差数列 时 的首项为2,公方差为等若将的,a2,。3,的。这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码【答案】A,B,D12.（2 分）已知正方体力BCD-4B1C1D1的棱长为1,M,N 分别为BBAB的中点.下列说法正确的是（）A.正方体4BCD-4 1B1QD 外接球的表面积为37rB.面AND1截正方体4BCD 外接球所得圆的面积为苧C.三棱锥A M N/的体积为1D.直线4M与面AND1所成角的正切值为喟【答案】A,B,C阅卷人一三、填空题（共 4 题；共 5 分）得分13.（1 分）已知/（%）是定义在R 上的偶函数，当xK）时，f（x）=2x-2,则不等式/（%）W 2的解集是:【答案】-2,214.（1分）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据:根据上表可得回归方程9=坂+,其中8=7,据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为X24568y3040506070万元；【答案】8515.（1 分）已知在边长为4 的等边ABC中，BD=DC，则 而 而=【答案】1016.（2 分）已知 力 BC的三个内角分别为4,B,C，且sin4 sinB,sinC成等差数歹U，则角B的取值范围是：2sinB+百 sin2B最小值为.【答案】（0,专；竽阅卷人四、解答题（共6题；共6 5分）得分17.（10分）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知照d+包 匹=上 且。=a c bV6,c b a.（1）（5 分）求ac的值；（2）（5 分）若4BC的面积s=竺，求a,c的值.4【答案】（1）解：由题意，结合余弦定理得，户士飞 2必+a2-2=工,所以数=匕2=6.2abc 丁 2abc b（2）解：由于SM BC=j acsinB 3sinB:.S.inSD =-7y9y5 ,cosBD =通7，c a2+c2 b2（a+c）2 3ac（a+c）2 18 7 cosB=-=-=-7 5-=b2ac 2ac 12 12所以，a+c=5,又a-c=6,c b 所以，Q=2,c=3.18.（10分）给定数列 询,若满足ai=a（a 0,且a丰1）,对于任意的m,n e N*,都有a+n=0m%,则称 a 为“指数型数列”.（5 分）已知数列%的通项公式为0n=3”,证 明:an 为“指数型数列”;（2）（5 分）若数列 八 满 足:%=1,册=2期+1 +an a九+i；（I）判断 占+1 是否为“指数型数列“，若是给出证明，若不是说明理由；an（n）若“=F+n,求数列出 九 的前n项和T.【答案】（1）证明:am-an=3m-3n=3m+n=am+n:.5 为“指数型数列”（2）解：（I）将 即=2斯+1+即，an+i两边同除册 斯+1得：=怖+1，-1=+an+l 九 an+l 九 2+1 是以2 为首项，公比为2 的等比数列1 +1=2nan（丁1+1+11）（k+1）=2m+n=-+1即 Qm Qn+m /+1 是“指数型数列“（II）因为。+1=2%贝 防 n=+n=2n+n lan an Tn=（2+22+2）+（1+2+7i）九2 x（1-2n）（1+n）x n=1 2+2 n=好+必曰一2乙19.（15分 在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分 至 1 79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)(5分)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率；(2)(5分)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8,否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满 意 指 数=幽 处 丝)100(3)(5分)在等级为不满意的市民中，老人占/现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).【答案】解：(0.002+0.004+0.015+0,02+。+0.034)X 10=1,解得a=0.025,设至少 2人非常满意的概率为事件A,由题意知5人中非常满意的人数fB(5,3，P(A)=1-x(1)5-C5 X(1)4 X I =蕊(2)解：由频率分布直方图得：满意度平均分为45 x 0.02+55 x 0.04+65 x 0.15+75 x 0.2 4-85 x 0.34+95 x 0.25=8 0.5,满意指 数=逛 露”=0.805 0,8,因此，能通过验收.(3)解：分层抽取9人中老人有3人，由题意知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=f b|?=言，Pl)=等度=盆，P(X=2)=警=翳=卷 P(X=3)=Lg Lg Lg=看 则分布列为:C9X0123P5211528314184所以，E(X)=0 x+1 x+2 x+3 x g4=1.20.(10分)如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 1底面ABCD,M为B C中点，且AD=y 2,DC=1.(1)(5分)求证：面PAM 1面PDB；(2)(5分)若两条异面直线A B与PC所成的角为45。，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.【答案】(1)证明：矩形ABC。中，M为B C中点:，贝Utan/MAB=粤=q=黑=tan-W B，即有AB 2 AD/LMAB=ADB,于是得乙ABD+MAB=Z.ABD+ADB=9 0 ,则有4M 1 DB,因P C I底面ABC。，AM u 平面 ABC。，贝 lj4 M lp D,又PD C DB=D,PD,DB 从而有AM _L平面P D B,又AM u 平面PHM,所以平面PAM _L平面PDB.(2)解:A B/D C,则 C D是异面直线AB与PC所成的角,即C D =45。,有P=CD=1,以。点为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则0,0),F(V 2,1,0),M(辛，1,0),P(0,0,1)，宿=(一乎，1,0)，丽=,1,-1)BM=(,0,0),(jo除,AM=Q-%i +二 0设平面P A M 的一个法向量为诂=(打，为，z i),贝 I“2 1，令=1,得而=留 PM=多=i +y 1 一 Z i =0(V 2,1,2),设平面P B C 的一个法向量万=(%2，y2.Z 2)，则m-Bm=一丁亚=0垃 2，令、2 =1，得记=m PM=2x2 4-y2 z2=0(0,1,1),/1 m-n 1 x 1 4-1 x 2 3 3/1 4因此3 m n)=-=7=,所以平面P A M 与平面P B C 所成角a 的余弦值c os a =|c os(m,力|=?142 1.(1 0 分)已知椭圆C；今+兴=l(a b 0)离心率为米 短轴长为2 次，过(0,2)的直线/与椭圆C相切于第一象限的T点.(1)(5 分)求椭圆C的方程和T点坐标；(2)(5 分)设 0为坐标原点，直线f 平行于直线0 T,与椭圆C交于不同两点A,B,且与直线1交于点P.1 止明：1 P T,为定值.【答案】解：令椭圆C的半焦距为c,依题意，b=y/3,-=1 而&2 =必+2,解得a =a 22,c =1,所以C 的方程为*+匕=1；4 3显然直线/的斜率存在，设直线2 的方程为y =k%+2,由 3：1：?；2 1 2 消去丫得：(3 +4 1)%2 +16kx+4 =0,由/=2 5 6/-1 6(4 炉+3)=0,解得：k=-2或卜=手当k =时，(-1)2 =0,解得 =1,点T(1,|),当左=/时，(%+1)2 =0,解得=-1,不符合题意，所以T 点坐标为(1,|).(2)证明：由(1)知，直线。7 的斜率|,直线/的方程为y =+2,设，的方程为、=圻 +m,(m 0),A Q i，y Q,B(x2 y2),由X+2m_2m_4一+13-2-=Xy,即点P(l_ 夕，|+),则|P T|2 =弓导得解2m+X(3 y=yx+m力，久 2 2 消去 y 得：x2+mx+1 =0 借+专=1%+%2=m则%2=-g 1=J%-(1 -,)2 +%_ (1 _ 勃 2 =零|%1-同理附|=零 氏 2-(1-刍 1，|P l|P B|=|x1x2-(l-)(x1+x2)+(l-5)2|=|-l-(l-5)(-m)+(l-)2|=1 3 248m 所 以|P 7 一运为定值.2 2.(1 0 分)已知函数/(%)=%lnv.(1)(5 分)求曲线y =f(%)衣=也处的切线方程;(2)(5 分)若方程/(%)=W 1 有两个实根%0%2，且%2%1(I)求 m的取值范围；(I I)求证：%2 -V 1 +2m.【答案】(1)解：f (%)=I nx +1曲线y =/(x)在x =与处的切线的斜率为-1,切点坐标为借，当m o 3 m n 7 7 1.3 3 m oPA=J xi 一 (i -