山东省青岛市莱西市2021-2022学年高三上学期数学期末试卷

山东省青岛市莱西市2021-2022学年高三上学期数学期末试卷阅卷人-、单选题(共8题；共16分)得分1.(2 分)已知集合4=x e R|%2-2%0,B=-3,-2,0,1,2,4,C=A C t B,则集合 C的真子集的个数为()A.4 B.7 C.8 D.16【答案】B2.(2 分)已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.VxSR,f(一x#Rx)B.VxGR,f(-x)-f(x)C.3 xoG R,f(xo)rf(xo)D.3 xo6 R f(-xo)#f(xo)【答案】C3.(2 分)设随机变量XN(2,a2),P(0 X 4)=0.3,P(X -1)=m,则下列结论正确的为()A.,m=0.35 B.m=0.7C.0.35 m 0,7 D.0 m 1 0.8 2 8)=0.0 0 1,根据小概率值a =0.0 0 1 的W独立性A(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)检验，以下结论正确的为()A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.0 0 1C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0 0 1【答案】D(%2 +3,x Q8.(2 分)已知函数/(x)=,g(x)=kx+1,若函数y=/(%)-g(%)在1 1 +4%C O S(2 7 T 7 TX),x 0%G -2,3 内有3个不同的零点，则实数k的取值范围为()A.22 k -B.k =2&或 孝 k4C.4 k 学【答案】B阅卷人二、多选题(共4题；共8分)得分9.(2 分)设 a,b 是两条不同的直线，a,y是三个不同的平面，P 是一个点，则下列选项正确的为()A.若a 夕，a u a,则Q/?B.若 五 J.方，a l a,b l/?,则 a _ L 夕C.若a 1 0,a C B=b,Pea,Pea,a 1 则a 1 0D.若a _ L y,a/?,则6 1 y【答案】A,B,D1 0.（2 分）已知复数2 =。+（1 a 2/,i 为虚数单位，aeR,则下列正确的为（）A.若 z是实数，贝 i j a =-1B.复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上。|z|2 三D.若z=2 N+l,则。=1【答案】B,C1 L （2 分）已知两个向量可和石满足同|=2,|可=1,可与祓的夹角为多 若向量2 闻+7/与向量方+t 器的夹角为钝角，则实数t 可能的取值为（）A.-6 B._巫 C.-1 D.-12 2 5【答案】A,D1 2.（2 分）己知双曲线Q 斗 2=1，过其右焦点F的直线1 与双曲线交于A,B两个不同的点，9 16则下列判断正确的为（）A.MB|的最小值为苧B.以F为焦点的抛物线的标准方程为y2 =20 xC.满足|A B|=2 的直线有3 条D.若 A,B同在双曲线的右支上，则直线1 的斜率k e （-8,-1）U（1,+oo）【答案】B,D阅卷人-三、填空题（共4题；共4分）得分1 61 3.（1 分）在（2 女 一 张 的展开式中，2 的系数为；【答案】-1 9 21 4.（1 分）记函数/（%）=3%+1 1 1%（可+）的图像在点。，/（金）处的切线的斜率为斯，则数列1 齐 卜-的前1 1项和为anan+l-【答案】舟15.（1 分）在A/IBC中，CA=a，CB=b a b 0,|a|=5,历|=3，若 4BC的外接圆的半径为孕，则角C=.【答案】竽16.（1 分）如图，矩形/BCD中，AB=2V3-AD=2,Q为BC的中点，点M,N分别在线段48,CD上运动（其中M不与力，B重合，N不与C,。重合），且MNA O,沿MN将 DMN折起，得到三棱锥D-M N Q.当三棱锥D-M NQ体积最大时，其 外 接 球 的 表 面 积 的 值 为.【答案】粤阅卷人四、解答题（共6题；共6 5分）得分17.（10分）在AABC中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，沅=（2a+c,b）,n=(cosB.cosC),m-n=0.(1)(5 分)求角B 大小；(2)(5 分)设f(久)=2cosxsin(x+亨)-2siMxsinB+2sinxcosxcos(4+C),当x w g,争时,求/(x)的最小值及相应的x.【答案】(1)解：由已知条件得万元=(2a+c)cosB+bcosC=0,由正弦定理得(2sin/+sinC)cosB+sinBcosf=0,即2sin4cosB+sinCcosB+sinBcosC=0,2sinZcosB+sin(B+C)=0,则 2sin4cosB+sinA=0,.,sin/l*0,cosB=一,，2 T T又,：B e(0,n),B=竽；(2)解：/(%)=2cosxsin(x+亨)-2sin*1 2xsinB+2sinxcosxcos(yl+C)12 c o s x(7 yS i n x+乙c o s%)V 3 s i n2%4-s i n xc o s x=2 s i n xc o s x+A/3C O S2X V 3 s i n2%=s i n 2 x+V 3 c o s 2 x=2 s i n(2 x+9Vx e g,第，2 x+狂 筝 铝，-2 2 s i n（2 x+J）V 3,则f（x）的最小值-2,其中2%+g =:，即当=需时，f（x）有最小值-2.1 8.（1 0分）已 知 数 列 的 前n项和为S”，且的，即，S n为等差数列；数列 匕 满足已=6,bn=S-4+4.（1）（5分）求数列%的前n项和Tn；（2）（5分）若对于V/i C N*,总有空理成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）解：因为的，an,S n为等差数列，所以2 a n =a i+Sn,所以2 aH+】=%+S +两式相减得2 a n+i -2an=Sn+1-Sn,即即+i =2an,所 以 数 列 是 以2为公比的等比数列，又必=6,bn=Sn+-+4,所以6 =%+白 +4,解得%=1,所 以 即=2“-1,s=x 2：unU1n 1_22n-1,所以“uZl+W+d uZn+W+B，2 21o 1 1所以7 =比+与+勾=(2+尸+3)+(2?+产 +3)+-“+(2 4+产+3)1 1(2 +22+2九)+(1 +a+)+3 九21_ 1 X11-2n x 2 1尹、21-2+3 n1-+12=2 n+i-品r +3 n,所以+】+3%（2）解：由（1）得不等式 为3 n 学2 0#64 X3芸九 一宇2 0,令%3 n 2 02 九 一1，3(7 1 4-1)-2 02n3 n-2 0 _ 2 3-3 n2n-1-2n所以当0V nW 7,TIN*时，cn+1-cn 0,即%+i c九，3 xH 20当n 7,TlCN*时，cn+1-cn 0,即C n+164 x*,即7血一4 2,解得m 多所以实数m 的取值范围为m 多19.（10分）现有混在一起质地均匀且粗细相同的长度分别为lm、2m、3m的钢管各3 根（每根钢管附有不同的编号），现随机抽取4 根（假设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将抽取的这4 根首尾相接焊成笔直的一根.（1）（5 分）记事件A=抽取的4 根钢管中恰有2 根长度相同”,求 P（4）；（2）（5 分）若用f 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），=2 4 f-7,E（#1,求f 的分布列和实数4的取值范围.【答案】（1）解：由已知PG4）=）g，1914;（2）解：由己知f 可能的取值有5,6,7,8,9,10,11,p(e=6)=%=142=13-49C-C221=1-=1323234P(f=7)=P(f=9)=3+竽3 0=券C9p(F _ 2 _ Clclcl+Cjcl _ 2厂 代 3)-T4-71 f 的分布列为567891011p142221521275212211421 2 5 2 5 2 1：E(f)=5 x+6 x 2Y+7 x 2r+8 x q+9 x 2y 4-10 x-yr+11 X=8,.E()=E(2 魅-7)=2AE(f)-7 =16A-7 1,解得；I J2 0.（1 0 分）在如图所示的三棱柱A B C-a B i Ci 中，侧面4 8 8 遇1 为菱形，ABB1=6 0 ,AB=2 企，BC=2 8，AC=4,BBr 1 AC.（1）（5 分）求证：平面BBi G C 1 平面ABBi Ai；（2）（5 分）求平面4 B C 1 与平面A B C 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明：连接力Bi，取BBi 的中点0,连接。4 OC，因为四边形力B B 1 4 为菱形，N 4 BB1 =6 0 ,所 以 为 等 边 三 角 形，所以BBi _ L 0 4,因为BBi l.力 C,AC QOA=A,所以SB1 1 平面/O C,因为。C u 平面4 0 C,所以 BBi 1 OC,在等边A/BIB中，AB=2A/2,所以 0 4 =2 V2 s i n6 0 =瓜,在R t A O B C 中，BC=2 V3，OB=V2.所以 O C=VlO.因为AC=4,所以O/P +O C?=4 C 2,所以O CJ.O 4因为。4 CBBi =0,所以O C，平面4 8 当百1，因为。C u 平面BBi G C,所以平面BBi G C _L平面(2)解：由(1)可知。4,OB,O C两两垂直，所以以。为原点，0 4 08,0 C所在的直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示,则为(石，-2 V2,0),B(0,y2,0),6(0,-2 7 2,V1 0),所以一右，0,西=(0,-3 V2,V1 0)设布=(%,y,z)为平面A1 BC1 的一*个法向量，则m 力忑 1 =/6 x +VlO z =0m-=-3 V2 y +VlOz=0令z =3g，则记=(3 V5,V1 5,3 遍),设布=(a,b,c)为平面ABC的一个法向量,由人(遍，0,0),B(0,V2,0),C(0,0,V10),得 荏=(一遍，V2,0),BC=(0,-V2,V1 0),则y=-4 +洋=0,令。=5,则元=(5,5V3,V1 5),t-r t =-V2 6 +Vi o c=0 )设平面A1 BC1 与平面A B C 的夹角为8,由图可知。为锐角，贝 I Jm-n 15V5+15V5+9V5 1372001|m|n|V45+15+27-V25+75+15 6672 1.(1 0 分)已知椭圆C：冬+=l(a b 0)的离心率为e=/A,B 为其左、右顶点，F 1，F2为其左、右焦点，以线段F i 七为直径的圆与直线1：%+y +鱼=0 相切，点 P是椭圆C 上的一个动点(P 异于A,B 两点)，点 Q与点P关于原点对称，分别连接AP,Q F 2 并延长交于点M,连接P F 2 并延长交椭圆C 于点N,记A 4 F 2 M 的面积与/F z N 的面积分别为Si，S2.(1)(5 分)求椭圆C的标准方程；(2)(5 分)若2 sI=5 S2，求点P 的坐标.【答案】(1)解：以线段为直径的圆与直线2：%+了 +应=0相切，|/2|3原点到直线L 工 +、+=0的距离为和即0=育3 =1，又e=J,C L=3,即 反=。？c2=8,a 3故椭圆c 的标准方程为q +普=1;y o(2)解：设点P坐标为(m,n).由A(-3,0)得，直线AP的方程为y=品(4+3)(其中m。一 3,n*0),点Q 与点P 关于原点对称，点Q 的坐标为(一小，-n),则直线QF2的方程为y=高(X-1)，将两直线方程联立得M(2m+3,2n)，又：2Si=5s2，%_ 卜”1 -即 2n=3 _ 4n 工一 ly.-2,叫y,2,M l-丁点p和点N分别位于X轴的两侧，贝 卬 N=一萼，.点P、/2、N三点共线，.丽 所，即PF；=(1 m,n),F2N=(xN 1,yN),9 4(1-m)yN-(xw-l)(-n)=0,xN=-m,2 2丁点N在椭圆上,，义