北京市密云区2022届高三上学期数学期末考试试卷

北京市密云区2022届高三上学期数学期末考试试卷阅卷人得分单选题（共10题；共2 0分）1.(2 分)已知集合 A=%|x b,月.ab HO,c E R,则下列不等式中一定成立的是（)A.a2 b2B.a bC.竽2 病D-c2+C2+l4.（2 分）下列函数中，既是偶函数，又在（0,+8）上单调递增的是（）A.y=cosxB-=*C.y=2x-2-xD.y=ln|x|【答案】D5.（2 分）若数列 a.满足即=/册+1，n C N*,且S 1 =2,则下列说法正确的是（）A.。3 =4 B.Q g=2 C.S 1 0 -Sq-2 1 D.S 。S 9 2 g【答案】C6.（2 分）在A B C中，a,b,c分别是角4,B,C的对边，若6 as inB =bcos Z，且b=26，c=2,则a的值为（）A.2 V7 B.2 C.2 V3 -2 D.1【答案】B7.（2 分）如果函数y=f（x）在 a,句上的图象是连续不断的一条曲线，那么“/（a）/（b）0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点F 的直线与抛物线交于48 两点，且|4 F|=2|F B|,则点4 到y轴的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B1 0.（2分）心理学家有时使用函数L（t）=A（1 -e-M）来测定在时间t（min）内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有2 0 0 个单词要记忆，心理学家测定在5 min内该学生记忆2 0 个单词.则记忆率k所在区间为（）A.（0,4）B.（玄，曲 C.鼎,余）D.（白，1）【答案】A阅卷入二、填空题（共 5 题；共 8 分）得分1 1.（1 分）在复平面内，复数注对应的点为Z,则点Z的坐标为.【答案】（1,1）12.（1 分）设函数/（x）满足条件VxWR,/（%）=/（%）,/（*+2）=/（*）,且在区间 0,1 上,/（%）=1 C M 其中集中用=%|%=S 夫，m e N）.给出下列四个结论：I x,x g M.十，冶）=击函数f（x）的值域为 0,1;函数f （x）在（岛，熙）（m e N）上单调递增；函数f（x）在 2 m-1,2m（m N）上单调递减.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】13.（2 分）设（2%+1尸的展开式的二项式系数之和为3 2,贝加=,其展开式的第三项为.【答案】5；80答14.（2 分）已知直线八 y+2=k（x 1）过定点4,圆C：x2+y2 4%4y 4-7=0,若直线，与圆C相切于点P,则 前 存的值为;使得直线 与圆C相交的k的取值可以是（写出一个即可）.【答案】16；4（答案不唯一）15.（2 分）已知双曲线C：刍一4=1 的左、右焦点分别为F i、尸 2，直线I：、=2%-10过双曲线。a b的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为；若点M（-V10,2遮），则IM F/-IMF2I的值为.【答案】踪=1；-2V5阅卷人三、解答题（共6题；共85分）得分16.（15分）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了 100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50 350k一之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图:（1）（5 分）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1 组、第 2组、第 6 组，从第5组、第 6 组中任取2 户居民，求他们月均用电量都不低于3 0 0 k 八的概率；（2）（5 分）根据上述频率分布直方图，估计月均用电量的样本数据的第9 0 百分位数；（3）（5 分）该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于w k W%的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计w 应定为多少合适？（只需写出结论）.【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，1 0 0 户居民中，第 5 组的居民户数为1 0 0 x 5 0 x 0.0 0 2 4 =1 2,第 6 组的居民户数为1 0 0 X 5 0 X 0.0 0 0 8 =4,从第5 组、第6 组中任取2 户居民，他们月均用电量都不低于3 0 0 k l V-的概率为=殍=盘=C 16 12012 0（2）解：前 4 个矩形的面积之和为（0.0 0 2 4 +0.0 0 3 6 +0.0 0 6 +0.0 0 4 8）x 5 0 =0.8 4 0,9,设月均用电量的样本数据的第9 0 百分位数为a,则a （2 5 0,3 0 0），则0.8 4 +（a -2 5 0）x 0.0 0 2 4 =0.9,解得a =2 7 5,因此，估计月均用电量的样本数据的第9 0 百分位数为2 7 5 k -h.（3）解：前 5 个矩形的面积之和为0.9 6 0）.在下列条件、条件、条件这三个条件中，选择可以确定3 和m值的两个条件作为已知.(1)(5分)求/妗)的值；(2)(5分)若函数/(%)在区间 0,a 上是增函数，求实数a的最大值.条件：f(x)的最小正周期为兀；条件：f(x)的最大值与最小值之和为0;条件：/(0)=2.【答案】(1)解：/(%)=2 s i n c os(刍 可)+0)3 7 T O)7 T 71(x)7l 71=2 s i n (c os 2-c os g +s i n -s i n)+m.am 1 37r V3,am2 s i n 2 (2,c os -F s i n?)+mam am 广 9 3 7 r=s i n 2-c os 2-+V 3 s i nz +m1 L 1 C O SO)%=T ys i nc ox+V3-F m乙 乙71 V 3s i n%可)H M若选择和，则1 +亨+巾-1 +亨+徵=0 解得3 2,m 亨，所以f。)=s i n(2 x-号)所以&)=sin(1 -f)=sin =|，若选择和，则暮=兀，f(0)=s i n(T)+字+m=2,解得 O)=2,7 7 1 =2 所以/(x)=sin(2 x -刍 +等+2，所以&)=sin g _$+字+2 =等 应若选择和，则1 +苧+m 1+器+m=0，且/(O)=sin(+亭+m=2，这样的m不存在 解：由(1)可知，若选择和，/(x)=sin(2 x-1),由一、+2/CT T W 2 x 专 W .+2kn,k G Z,得2 +k 兀 W%W 1兀 k Z，所以/(%)的增区间为-金+而，驾+/w (k CZ),因为函数/(%)在区间 0,a上是增函数，所以实数a的最大值为居，若选择和,则/(%)=sin(2久刍+字+2，由一?+2/CT T 2.x 与 W 5 +2/CT T,k&Z,得+k,7 1 X 所以/O)的增区间为-强+k/r,缪+时(k e z)，因为函数f(x)在区间 0,a上是增函数，所以实数a的最大值为罂1 8.(1 5分)如图，在四棱锥P-4BC。中，底面4 B C D是边长为2的菱形，/.ADC=6 0 ,4 PAD为正三角形，。为4。的中点，且平面P 4。_ L平面A B C。，M是线段P C上的点.(2)(5分)当点M为线段P C的中点时，求点M到平面P A B的距离；(3)(5分)是否存在点M,使得直线A M与平面2 4 B的夹角的正弦值为例.若存在，求出此时矍 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：连接O C、AC,iAf因为四边形ABCD为菱形，贝 Ij/D=C D,因为乙40c=60。，则ACD为等边三角形，因为。为AO的中点，故0C J.4D,因为P4。为等边三角形，。为4。的中点，则P0 1 4。，：P0 C0C=0,二 4。J 平 面 P O C,P C u平面POC,AD 1 PC,v BC/AD,故BCJ.PC.(2)解：因为平面PA。1 平面4 B C D,平面PAD C平面ZBCD=AD,P0 1 AD,P0 u 平面PAD,P0 J_平面4BC。,因为0 C _L A D,以点。为坐标原点，0C、0D、0P所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,0)、5(V3,-2,0)、C(V3,0,0)、D(0,1,0)、P(0,0,遮)、M(孚,0,设平面PAB的法向量为沆=(x,y,z),AB=(V3,-1,0).4P=(0,1,g),.(m-AB=V3x y=0m-AP=y+V3z=0取x=l,可得而=(1,遮，-1),询=(空，1,苧)，所以点M到平面的距离为(/=端 型=工=芈(3)解：设 丽=2丽=2(值，0,-V3)=(V3A,0,-V 3 A).其中0W 4W 1,AM=AP+PM=(0,1,V3)+(V3A,0,-V3A)=(V3A,1,V3-V3A).由题意|cos/W，_ AM-m _ 2y/3A _ 同闲 户 而 丽=而2+4 4 正整理可得9矣+3 2=0,因为0 W 2 W 1,解 得 康因此，存在点M,使得直线4M与平面PAB的夹角的正弦值为零，此时器=最1 9.(1 5 分)已知函数/(%)=x +k e x,ke R.(1)(5 分)求曲线y =/(x)在点M(2,r(2)处的切线方程；(2)(5 分)求函数/(久)的单调区间；(3)(5 分)若函数/(%)=%+起*有两个不同的零点，记较大的零点为通，证明：当配e(l,2)时，(1 +/ce2)x0 ke2 0.【答案】解：因为/1(X)=x +k e 3 则/(%)=1+叱，所以，f(2)=2 +k e 2,/(2)=1 +ke2,因此，曲线y =/(X)在点M(2,”2)处的切线方程p一(2 +检 2)=(1 +起 2)(%-2),即y =(1 4-ke2)x ke2 解：函数/(x)=x +k e*的定义域为R,且/(%)=1 +k e!当k N 0 时，对任意的x e R,/(%)0,此时函数/(%)的单调递增区间为(一 8,-bo o),无递减区间；当k 0 时，由/(x)=0，可得x =-ln(-/c).当 0；当X -ln(-k)时,/(%)0.此时，函数/(%)的单调递增区间为(一8,-ln(-k)，单调递减区间为(ln(k),+o o).综上所述，当卜2 0时-，函数/(%)的单调递增区间为(8,+00),无递减区间；当k 0对任意的西 e (1,2)恒成立，即证g-2 Xq_ 1对任意的尤 E(1,2)恒成立，构造函数g(x)=靖-2 一%+1,其中c(l,2),则g (x)=炉-2 一 1 g(2)=0,因为与 e (1,2),则g(%0)g(2)=0,即e、。x0-i,故原不等式得证.20.(15 分)已知椭圆C：今+*1过/(一3,0)，B(0,-1)两 点.设M为第一象限内一点且在椭圆U h,直线M A 与y 轴交于点P,直线M B 与 轴交于点Q.（1）（5 分）求椭圆C的方程及离心率；（2）（5 分）设椭圆C的右顶点为/,求证：三角形2 BQ的面积等于三角形4 P Q的面积；（3）（5 分）指出三角形M P Q 的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）.【答案】解：由题意知，椭圆C：今+营=1过点火一3,0）,8（0,-1）,所以a =3,b=1,所以c =y/a2 b2 2A/2，所以椭圆C 的方程为：需+y 2=l，离心率为0=学，Vn（2）证明：由题意知，A（3,0）,设点M（%o，y（）（0%o 3,0 y0 1）,得 左 用 4=而 百，所以直线MA的方程为：丫 =翁。+3),直线MB 的方程为：y=x-l,所以P(,豁),Q(藕 )，所以1 彼 1 =篇,1 的 1 =3 +品,MQ =3 一 普，故SM P Q=4|A Q|y p=品(3+y)SA B Q=AQOB=|X(3-T),要证SM P Q=S/BQ,只需证(3 +母 j)X多 务=3 -母 Y只需证3 y o(3 y o +x0+3)=(3