2022国家开放大学电大本科【常微分方程】网络课形考任务1-6试题及答案

国家开放大学电大本科 常微分方程网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。课程总成绩=形成性考核X50%+终结性考试X50%形考任务1题 目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是().选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了 6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是().选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：().选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的 系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是().选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有()讲.选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：().选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100-1000字.答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基木解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为J积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难憧的。至于后而的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。形考任务2初等积分法中的方程可积类型的判断（1）题 目1X-=y-X3d r答：（一阶线性非齐次微分）方 程.题 目2答：（可降阶的高阶）方程题目3y =冷+2（）答：（克莱洛）方程题目4f +2 个+x y，=Q答：（伯努利）方程题目5力+1d x x答：（一阶线性非齐次微分）方 程 题 目6顼+（矿）：=。答：（恰当导数）方程题目7d j _ x i,d x 1-F X2答：（变量可分离）方程题目8.T （xn y）-1答：（一阶隐式微分）方程题目9e d x-H (x e-十=0答：（全微分）方程题 目10(x+2y)dx-炒=0答：(齐次微分)方程形考任务3常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握.要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1.微分方程叫+一。/)3、”=0是 二 阶微分方程.2.初值问题，的解所满足的积分方程是y=f s,y)ds.yM=y0 X Q3微分方程Vin vdx+(x-In v)dv=0是一 一阶线性非齐次微分方程.僦方程可积类型而言)4.微分方程+2v)dv=0是 全微分方程.(就方程可积类型而言)5.微 分 方 程 均+0/)2+3/=0是 恰当倒数方程.(就方程可积类型而言)6.微 分 方 程=)=x2siny的所有常数解是丫=人叮,*=0,1,2,7.微分方程合 打受的常数解是_ 歹=1.8.微分 方 程/丁 二旌 的通解为孑=。(工+。)-9.微分方程y=J 尸的通解是y-C x+-C2 210.一阶微分方程的一个特解的图像是：维空间上的一条曲线.二、计算题1.指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(1)-A/dx答：一阶，非线性C、也一 2业+生=0 dx4 dr3 dx2答：四阶，线性(3)x+xx+x=t答：三阶，非线性2.用 分离变量法求解下列方程：(1)/=(2)tanAdx-cotxdy=0(3)(乂 2+声 2 炒=0b(1)=-12.解通积分为e=e+C(2)解当I tanycotx。On寸，分离变量，两端取积分得fA=fAL+ink|J tany J cotx即 ln(sin y)=一 ln(cos x)+In|c|通积分为sin y cos x=C.7T另外，y=k7rfX=k7T+一是常数解，4=0,1,2,.注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解(通积分)即可，常数解可以不求。(3)解当x正0，孑。0时，方程可变为三了&二匕顼0 x y1 1 X通积分为 ln|x|一 =+ln|v|+C 或-Ce|x*y上式代入初值条件x=l,y=1.2 2得C 二 一萨.于是初值问题解为-=3.解下列齐次线性微分方程(1)(y 2xy)dx4-xdy=0 x(2)xy-y=xtan(1)解显然X二。是方程的解.当有0时，原方程可化为孚=一A 2令 令 以”,则原方程可化为dr x x2du 2 dw u+uu+x-=u+2iz,即 一=-dx dr x易于看出，U =0 u-1是上面方程的解，从而y=X y=。是原方程的解.当 一/时，分离变量得，乎 二虫.两端积分得Ini|=ln|Gd(CA0)-“X|M-1|将 换 成三，便得到原方程的解Cy=x(x-y)i(0).X故原方程的通解为Cy=x(x-y)(C为任意常数)及*=0.(2)解显然，=。是方程的解.当。时，原方程可化为 R.y.令w=2,则原方程可化为dx xx xduin,du tan uM+x =tsn +,叩一=-.dx dx x易于看出，u=0是上式的解，从而y=0是原方程的解.当u”0时，分离变量得，J=一.两端积分得ln|sinw|=ln|qA(CAO).将 换成便得到原方程的解sinA=Cx(CrO).故原方程的通解为sinA=X X X4.解下列一阶线性微分方程：(1)xy 2y=2x4(2)/ytanx-secx(1)解 先解齐次方程x，=2y.其通解为y=Cx2.dx用常数变易法，令非齐次方程通解为y=C(x)，代入原方程，化简后可得C(x)=2x.积分得到C(x)=x2+C.代回后即得原方程通解为j;=Cx2+x4.(2)解 先 解 齐 次 方 程-=-y tan x.其通解为y=Ccosx.dx用常数变易法，令非齐次方程通解为v=C&)cos x.代入原方程，化筒后可得C(x)=cos X积分得到C(x)=tanx+C.代回后即得原方程通解为y=sinx+Ccosx.5.解下列伯努利方程(1)=0(2)+y=/(cos x-sinx)dx(1)解 显 然y=0是方程解.当y?时，两端同除得1 dy 2x+x=0.令Z=，代入有一玉+2定+x=0,它的解为Z=L+Ce32/3dx21 1 0于是原方程的解为一=一一+G e,及V=0.V2,夕(2)解 显 然y=。是方程解.当了曾时，两端同除得1 dp 1 .-H-(cosx-sin X)=0.y dx y令 z=,彳弋入有z+(cos x-sin x)=0y dx它的解为z=Ce sinx t于是原方程的解-=Cex-sinx 及y=0.6.解下列全微分方程：(1)dx-(2y+xev)dy=0(2)(7-ysin2x)dx-jcos2xdy=0(1)解 因为华=-e=半，所以这方程是全微分方程，物 力及N(x疗)在整个xQy平面都连续可微,dy ox不妨选取Xo=(),%=()故方程的通积分为evdx-2j；dy=C,即 xQ、y=c.(2)解 因 为 一 二2ysin2x=一,所以这方程是全微分方程,M(x,力及N(x,力在整个xQy平面都连dydx续可微，不妨选取X。=0,为=。.故方程的通积分为(i+/)dx-A=c,即 2x-y2cos2x=C.7.求下列方程的积分因子和积分:(1)(x2+y+x)dx xydy-0(2)(x4+y)dx xy dy=QdM dN(1)解因为 矿一二一,与 y无关，故原方程存在只含x的积分因子.N xdx由公式(1.5 8)得积分因子(x)二e H P/y(x)=x,于是方程(疽+/+x)dx -xydy=0 为全微分方程,取=0,%=0 .于是方程的通积分为 4-4 公=0.即3 x4+4+6 =C.dM dN(2)解 因 为=与*无 关，故原方程存在只含x的积分因子.解方程N xdv 1由公式(L 5 8)得积分因子(X)=e 即 z/(x)=,，X1 V3于是方程一(x 4+/)dr-dj；=0 为全微分方程.取x 0=l,为=0.于是通积分为/X(x4+/)dx-y3dy =G 即/=4x4I n|x|+Cr4.8 .求解下列一阶隐式微分方程(1)y2 y-y)-/sirf x(2)/1)(1)解 将 方 程 改 写 为-y2+2 yy=(l-cos2x)即 y2-2 yy y=/cos2 x 或 3 -y)?=/cos2 x解 V =V 土*cosx 得通积分为：I n Cy =x si n x,乂，=。是常数解.(2)解 y =。显然是方程的解,当y -0时，方程可变为()2 _ 2()=e-l,令%y y y则上面的式子可变为if 2 u=e 1,解出得，u 一 1 .即一=1 V?7.对上式两端积分得到方程的通解为g y =x14e+C9 .求解下列方程何”_yy=(/y+i(2)A-(y)2+i=o(1)解 令y =2贝代入原式得即-p)2=p,2+1.解出p得2-xp仕力口”+这是克莱洛方程，通 解 为p =xd JI +C；.即=xC1 1+C：.2 _ _ _ _解之得 6七如亨+C 2 X +G(G,G,C 3为 任 意 常 数)(2)解 化简得 0y)+l =O,即 y/=x+C)求积分得一 一(一X +C )24 2 2 2或 J+(x G)2=G.三、证明题1.设函数p(x),/(X)在 0,+00)上连续，且li mp(x)=。0,f(xj+c C1.证 明 设j cy(x)是方程任一解，且满足*(版)二坊，则P(s)ds p(s)ds f P(J)dty G?=y.e+e 扁 扁 ds由于li m,=D O。所以对任意E 0,存在七 如使得*叫时 有X3 C0 p(x)a +令。=a.I v(x)|%|+9(1/2(F)/b5+乂 在 苍，为 上*(x)有界设为球现取M =3X例,促)则 y(x)4C0 X-KCCT x0 X-430右益字涉二 0+oc-