2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第1讲 一次函数的概念及图像(含详解)

第 1 讲 一次函数的概念及图像模块一：一次函数的概念知识精讲1、一次函数的概念(1)一般地，解析式形如y=(k,。是常数，且%/0)的函数叫做一次函数；(2)一次函数 =丘+6 的定义域是一切实数；(3)当匕=0 时，解析式y=履+就成为y=区(&是常数，且上片0)这时，y 是 x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；(4)一般地，我们把函数y=c(为常数)叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定.例题解析例 1.下列函数中，哪些是一次函数？(1)y=3x2 2；(2)y 1 =2x；(3)y=，w(x 5)(?X 0)；(4)y=ax+(aQi)；(5)y=kx+(kO)；(6)y=-(%+3)x(女工一 3).a x例 2.(1)己知函数y=(r-2)x+l是一次函数，则 A 的取值范围是；(2)当止 时，函 数 尸 产 一-(是 一 次 函 数，且不是正比例函数.例 3.已知一个一次函数，当自变量x=-2时，函数值为y=-l；当x=2时，y=ll.求这个函数的解析式.例4.已知一次函数y =(Z-l)/3+3+7是一次函数，求实数的值.例5.(2 0 2 0 上海市格致初级中学)如图，正 方 形/腼 的 顶 点/、6落在x轴正半轴上，点。落 在 正 比 例 函 数 尸(A 0)上，点落在直线y=2 x上，且点的横坐标为a.(1)直接写出/、B、C,各点的坐标(用含a的代数式表示)；(2)求出力的值；(3)将直线O C绕 点。旋转，旋转后的直线将正方形/崎的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式.模块二：一次函数的图像知识精讲1、一次函数的图像:一般地，一次函数丫=+人（A,6是常数，且&X 0）的图像是一条直线.一次函数y =j l r +b的图像也称为直线y =+，这时，我们把一次函数的解析式y =+匕称为这一直线的表达式.画一次函数丫=自+匕的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线.2、一次函数的截距：一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y =+匕（&力0）与y轴的交点坐标是（0，b）,直线），=依+人（%#0）的截距是b.3、一次函数图像的平移：一般地，一次函数丫=丘+匕（6 x 0）的图像可由正比例函数丫=依的图像平移得到.当6 0时，向上平移回个单位；当人0时，向下平移例个单位.（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、直线位置关系：如果那么直线y =h+伉与直线y =丘+8平行.反过来，如果直线=4/+a与直线y =&x +%平行，那 么 匕=&,b产瓦.例题解析例1.若一次函数y =（3-a）x +（-9）函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像.例2.若一次函数丁 =依+。，当下2时，片T,且函数图像的截距为-3,求函数的解析式.例3.若一次函数产-x +b的图像的截距是-4,求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式.例4.将直线尸-0 x+l向右平移1个单位，相当于将直线片-0 x+l向上平移了多少个单位？7例5.已知一次函数的图像平行于直线尸士 x,且当x =-3时，函数y的值是1,求这个函数3解析式.例6.若直线y =(,“2 -3)x +(2?+1)与直线y =-2 x+3平行，求勿的值.例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式.(1)直线经过(3,2)以 及(1,1)；(2)直线经过(7,0)以及截距是1 4；(3)直线经过(-3,0)以及截距是-0.例 8.直线y =（1 -3 k2）x+（2 k-2）与已知直线y=-2 x+平行，且不经过第三象限，求女的值.例 9.设点。（3,加，0（，2）都在函数片户8的图象上，求而的值.例 1 0.设一次函数 =丘+6的图像过点尸（3,2）,它与x 轴、y 轴的正半轴分别 交 于 从B两点，且曲+力 12时，求一次函数的解析式.例 11.已知一次函数丫=怨1%与丫=-：+的图像在第四象限内交于一点，求整数m的值.例 12.已知两个一次函数y=-x-4f t y2=-x +-4 a a(1)“、6为何值时，两函数的图像重合？(2)。、满足什么关系时，两函数的图像相互平行？(3)a、取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标.例13.(1)一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48,求6的值；(2)一次函数丫=依+/的图像与两坐标围成的三角形的面积是10,截 距 是 否，求一次函数的解析式.例14.(1)求直线y=gx-4和y=2x+2与y轴所围成的三角形的面积;(2)求直线y=2x-4与直线y=-3x +l与x轴所围成的三角形的面积.例15.如图，已知由x轴、一次函数y=+4(k0时，函数值y随自变量X的值增大而增大，图像为上升；当后 0,且60时，直线y=+6经过一、二、三象限；当0,且匕0时，直线y=丘+经过一、三、四象限；当大0时，直线丁=履+人经过一、二、四象限；当&0,且8 0,b 0 B.k 0,Z K O C.k v O,b 0 D.k 0,b =,加+3的截距是4,且 y随 x的增大而减小，求该直线的函数解析式.6.若2 0,请指出一次函数、=。或+公的图像所经过的象限.a a7.己知y =(4?-5)X2T+2X-(/M+1)X7+/1 是一次函数，且当x =l 时，y=5 ,试写出满足条件的?和;I,并写出解析式.8.已知一次函数y =(m-l)x +?-4 不经过第二象限，求力的取值范围.9.己知直线y =2 x-3 ,把这条直线沿y轴向上平移5 个单位，再沿x 轴向右平移3个单位,求两次平移后的直线解析式？1 0.根据下列要求求一次函数解析式：(1)一次函数经过4(2,3)且其与y 轴的截距为-2；(2)一次函数的截距为-5,且与y =&x+l 无交点;(3)一次函数的图像经过点M(l.2,-4.5),N(2.4,2.7).1 1.已知一次函数、=+6 (女工0)与x轴、y轴围成的三角形面 积 为2 4,且与直线y =x-Z平行，求此一次函数的解析式.3 31 2.直线：y =H+b过点6(T,0)与)，轴交于点G直线4 ：y =与4交 于 点?(2,5)且过点/(6,0),过 点C与4平行的直线交x轴于点;(1)求直线切的函数解析式;(2)求四边形4 R力的面积.1 3.如图所示，直线y =-6 x +2百 与x轴、y轴分别交于点力和点反是y轴上的一点，若 将 血 3 沿直线为折叠，点8恰好落在x轴正半轴上的点。处，求直线切的解析式.14.直线尸-与x 轴、y 轴分别交于点4、点 反 以 线 段 4 8 为直角边在第一象限内作等腰RfAABC，H Z B A C =9 0,如果在第二象限内有一点P(a,-),且 A4BP的面积2与 R/A4BC的面积相等，求a 的值.15.(2019 上海市民办新和中学八年级月考)如图，已知直线/：y=-x +百 交 X轴于点A，y 轴于点3,将 A4O3沿直线/翻折，点。的对应点。恰好落在双曲线ky=7(k 0)上.(1)求人的值;(2)将绕AC的中点旋转1 8 0。得到A P C 4,请判断点P是否在双曲线y=幺上,x并说明理由.1 6.(2 0 1 8 上海虹口区八年级期末)如图，一次函数y=2户4的图象与x、y轴分别相交 于 点 从B,四边形4 a D是正方形.(1)求点4、B、的坐标；(2)求直线做的表达式.1 7.(2 0 1 7 上海)如图，Z XA 0 B 为正三角形，点 B的坐标为(2,0),过点C(2,0)作直线1 交A O 于 D,交 A B 于 E,且使A A D E 和 (：()的面积相等.求直线1 的解析式.1 8.(2 0 1 8 上海市闵行区上虹中学)如图，直 线 尸 A x(x 0)与 双 曲 线 尸 勺(x 0)相x交于点P(2,4).已知点4(4,0),8(0,3),连接4 8,将 Rt 4/1 如 沿 8 方向平移，使 点。移动到点R得到阳.过 点/作/%y 轴交双曲线于点G 连接以(1)求k与为的值;(2)求直线/T的解析式；(3)直接写出线段48扫过的面积.1 9.(2 0 2 0 上海同济大学附属实验中学八年级月考)在平面直角坐标系x O y中，点A(0,3),点B (m,0),以A B为 腰 作 等 腰 如 图 所 示.(1)若j.c的值为5平方单位，求m的值；A n(2)记B C交y轴于点D,C E _ L y轴于点E,当y轴平分/B A C时，求一 的 值(3)连接0 C,当O C+A C最小时，求点C的坐标.第 17讲 图形运动中函数关系的确定解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题.模块一：动点求函数解析式知识精讲动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围.例题解析例1.已知：在中，Z/l=9 0 ,/庐力俏1,一是4 8边 上 不 与/点、8点重合的任意一个动点，PQ工B C于 点Q,于点兄(1)求证：P牛BQ；(2)设 於x,C ay,求y关 于x的函数解析式，并写出定义域；(3)当x为何值时，PR/BC.【难度】【解析】（1）证明：.Z A=9 0 ,A8 =AC =1,，NB =NC =4 5。.又.PQ LBQ,NBPQ=45,：qBPQ 为等腰三角形，：.PQ=BQ；(2)解：在等腰直角 A8P。中，-,BP=x,:.BQ=-x在 A/A/WC 中，BC=A B1+BC2=V f+I=V2在等腰直角 AC。/?中，CR=y,:.CQ=。，：CQ=BC-BQB P ly=/2 x,y=-x+l,(0 x 1)(3)解：;PR/BC,PQ 1BC,:.P R工 PQ,又 8PQ 为等腰三角形，.尸。二乎以-P R I IBC.PQ LBC,:.PRLPQ.PR/8C,./”/?=N8=45。，NA=90,:.AP=AR,?AP=l-x,：.PR=y/i(l-x).PRA.PQ,APRQ=ZRQC=45,：.PR=P Q,即.学工=72(1-x),23【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，第(3)问注意根据平行得到角的关系，再进行计算.例 2.如图所示，已知：在灯中，/俏90,尸 是 边 上 的 一 个 动 点，PQVPC.交线 段 的延长线与点Q.(1)当 於 8 c时，求证：B牛BP；(2)当/=3 0 ,4庐4时，设m x,BQ-y,求y关 于x的函数解析式,并写出定义域.【难度】【解析】（1）i i E：1 BPBC,ZBPC=ZBCP.：.PQ1 PC:.NBPC+NBPQ=90,NBCP+NBQP=90ZBPQ=ZBQPBQ=BP(2)过P作尸 _ L 8 C,垂足为，AH BQ NACB=90。，ZA=30,AB=4.ZABC=60,BC=2BP=x,B H=-x,PH=x2 2:.CH=2-x2PQ-=PH2+QH2,PQ2=CQ2-CP2=CQ2-(P H2+CH2):.PH2+QH2=CQ2-(P H2+CH2):.2PH2+QH2=CQ2-C H2=(y+2)224y-孙=2x2-2x2x2-2 x,八，y=-(l xx,C庐y,求y关 于x的函数解析式，并写出定义域；(3)若 上1,求 比1的长.【难度】【解析】(1)联结 破,BD.NC=90。，ZA=30,/.ZABC=60又.)垂宜平分 A B，.ZA8E=N8AE=30。，N C B E =Z A B C -Z ABE=30又.NC