2023届河南省TOP二十名校高三9月摸底考试数学理试题（解析版）

2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试 高三理科数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ ）． A．1 B．2 C． D． 3．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）． A． B． C． D． 4．中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系．如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）． A．53 B．55 C．57 D．59 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）． A．2 B． C． D．4 6．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（ ）． A．2 B．3 C．6 D．10 7．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（ ）． A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 8．执行如图所示的程序框图，输出的a的值为，则输入的t的值可以为（ ）． A．29 B．30 C．31 D．32 9．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）． A． B． C． D． 10．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）． A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 11．将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（ ）． A． B． C． D． 12．若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数为______（用数字作答）． 14．曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）． 15．已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______． 16．玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成．L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示．若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分） 中，． （1）求A； （2）若，的面积为，求． 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点． （1）证明：平面平面ADP； （2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值． 19．（本小题满分12分） 检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）．在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解，报告基团与淬灭基团分离，发出荧光．荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小．某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为600管和1000管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示： 甲公司： 日核酸检测量 增加200％ 增加50％ 降低10％ p 乙公司： 日核酸检测量 增加80％ 增加50％ 增加10％ p （1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率； （2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？ 20．（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，． （1）求C的方程； （2）设M，N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P，若P的横坐标为4，求的周长． 21．（本小题满分12分） 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）若，求a的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为． （1）写出C的直角坐标方程； （2）l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，若，求m． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a，b都是正数，且，证明： （1）； （2）． 2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试 高三理科数学参考答案 1．【答案】B 【解析】，，则．故选B． 2．【答案】A 【解析】设，则， ， ，故选A． 3．【答案】B 【解析】由可得， 则， 又，则，与的夹角为．故选B． 4．【答案】B 【解析】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，， 整理得，且，， 则，，，， ，，．故选B． 5．【答案】D 【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形， 设准线l与x轴交于点H，则， 易得．故选D． 6．【答案】B 【解析】设等比数列的首项为，公比为q， 由题意可得，即， 整理得，解得或（舍去），， 所以．故选B． 7．【答案】D 【解析】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确； 因为，，所以平面平面， 而平面与平面相交，则B选项不正确； 在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确； 设的中点为G，因为，所以， 又因为，，所以， 所以平面，所以平面平面，则D选项正确．故选D． 8．【答案】B 【解析】程序运行如下：，；，；，；，；…， 此程序的a值3个一循环．若输出的a的值为，则输入的t的值为．故选B． 9．【答案】C 【解析】如图，作正四棱柱， 使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，． 由题意可知，，，． 由可知，即为直线AC与BD所成的角， ．故选C． 10．【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以， 所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称． 因为为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称．故选A． 11．【答案】A 【解析】最大的数在第4组的概率， 在前3组中，最大的数在第3组的概率， 在前2组中，最大的数在第2组的概率， 的概率．故选A． 12．【答案】D 【解析】，设切点为， 则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解． 设，， 由得或， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷， 当x趋向于正无穷时，趋向于零， 且，，函数的大致图象如图所示． 因为的图象与直线有三个交点， 所以，即．故选D． 13．【答案】 【解析】的展开式中含的项为， 则的展开式中的系数为． 14．【答案】（答案不唯一） 【解析】， 令或， 则或， 令，则．故可填（答案不唯一）． 15．【答案】 【解析】不妨设点P在x轴的上方，因为轴， 将P点的横坐标代入，得． 由题意可知，且， 则有，即， 则，即，则． 16．【答案】 【解析】解法1：如图，作于F，于G，延长CD交AB于E， 设，点A到直线CD的距离为h． 由题意可知，，， 则 ． 当时，h取最大值． 若木块可以旋转穿过隔断，则有， 即，故的最小值为． 解法2：如图，设CD的中点为I，点A到直线CD的距离为h， 由题意可知，由，可知． 则有， 当时，两个等号同时成立，此时h取最大值． 若木块可以旋转穿过隔断，则有，即， 故的最小值为． 17．【答案】见解析 【解析】（1）由， 可得， 整理得． 则， 即， 故． 由，故， 又，所以． （2）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为，所以的面积， 所以． 因为，由余弦定理， 得， 所以． 18．【答案】见解析 【解析】（1）由题意可知， 因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 又，所以平面ADP， 又平面ABE，所以平面平面ADP． （2）由题意可知为等边三角形，且． 连接AC，作于F，连接BF， 则有，且平面ABCD， 因为，所以， 所以，故E为CP的中点． 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 设平面ABE的一个法向量， ，， 则，即，可取． 设平面CDP的一个法向量，，， 则，即，可取． 则，即所求角的正弦． 平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为． 19．【答案】见解析 【解析】（1）记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”， 事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”， 事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％” 则，且A，B相互独立． 由题意可知，． ， 故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率为． （2）设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X，采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为Y， 随机变量X的分布列为： X 1800 900 540 p 则． 随机变量Y的分布列为： Y 1800 1500 1100 p 则． 故，应该选择乙公司的仪器． 20．【答案】见解析 【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c， 由，，可得，． 则，，，所以C的方程为． （2）由C的方程可知，，设，，， 则直线AM的方程为，直线BN的方程为， 由，得， ， 所以，则． 所以，同理可得． 所以直线MN的方程为， 即，故直线MN恒过右焦点． 则有的周长， 所以的周长为8． 21．【答案】见解析 【解析】（1）设， ∵的定义域为，可知与的零点相同． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时取得最小值，且，则有且只有1个零点， 故有且只有1个零点． （2）方法一：由，得， 由，得，设， 则，． 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，则， 当时，因为，所以． 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 故在上的最小值为，即恒成立， 当时，设，则， 令，得，由知