浙江版高考数学总复习专题4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式（讲解练）教学讲练

考点清单方法技巧栏目索引专题四三角函数4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式高考数学高考数学浙江专用浙江专用考点清单方法技巧栏目索引考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式考点考点清单清单考向基础考向基础1.象限角第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合考点清单方法技巧栏目索引终边落在x轴上的角的集合|=k,kZ终边落在y轴上的角的集合终边落在坐标轴上的角的集合终边与角终边相同的角的集合|=+2k,kZ2.终边相同的角考点清单方法技巧栏目索引3.弧度制(1)角度制与弧度制的互化1=rad;1rad=.(2)弧长及扇形面积公式弧长公式:l=|r.扇形面积公式:S=lr=|r2,其中|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形半径.4.任意角的三角函数的定义设角终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin=,cos=考点清单方法技巧栏目索引,tan=(x0).5.三角函数值在各象限的符号上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.考点清单方法技巧栏目索引角的终边所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形6.三角函数线各象限内的三角函数线如下表:考点清单方法技巧栏目索引当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的余弦值为0,正切值不存在.7.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2+cos2=1;(2)商数关系:tan=.考点清单方法技巧栏目索引8.诱导公式考点清单方法技巧栏目索引角“(kZ)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.【知识拓展】1.由三角函数线得出的重要结论(1)考点清单方法技巧栏目索引2.两个常用结论当时,(1)sin1.3.常用同角三角函数公式的变形(1)sin2=1-cos2;(2)cos2=1-sin2;(3)(sincos)2=12sincos;(4)sin=costan;(5)sin2=;(6)cos2=.(2)考点清单方法技巧栏目索引4.正确理解“奇变偶不变,符号看象限”“奇”“偶”指的是k+(kZ)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是相对于奇偶关系而言的,sin与cos对偶.“符号看象限”指的是在k+(kZ)中,将看成锐角时,k+(kZ)的终边所在的象限.考点清单方法技巧栏目索引考向突破考向突破考向一考向一三角函数的定义三角函数的定义例例1(2018浙江金华十校4月模拟,11)在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),则tan=,cos+sin=.解析解析根据三角函数的定义知tan=,cos+sin=cos-cos=0.答案答案;0考点清单方法技巧栏目索引考向二考向二同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式例例2(2019浙江杭州地区联考,13)已知=7,则tan=,又tan(-)=-,则tan=.解析解析由已知可得=7,即=7,所以tan=.tan=tan-(-)=3.答案答案;3考点清单方法技巧栏目索引定义法求三角函数值定义法求三角函数值方法1方法技巧方法技巧定义法求三角函数值有两种情况:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;(2)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角的三角函数值.考点清单方法技巧栏目索引例例1(2019浙江嵊州期末,18)已知角的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆(圆心在坐标原点O处)相交于点A(x1,y1),射线OA绕点O按逆时针方向旋转到OB,交单位圆于点B(x2,y2).(1)当x1=时,求cos2;(2)若,求x1+y2的最小值.解题导引解题导引考点清单方法技巧栏目索引解析解析(1)当x1=时,由三角函数的定义可知cos=x1=,所以cos2=2cos2-1=-.(2)由三角函数的定义可知x1=cos,y2=sin.所以x1+y2=cos+sin=sin+cos=sin.因为,所以y=sin在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以sin,故x1+y2的最小值为.考点清单方法技巧栏目索引方法2同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用方法同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用方法1.利用同角三角函数的基本关系式求解问题的关键是熟练掌握诱导公式与同角三角函数的基本关系式的正用、逆用、变形用.同角三角函数的基本关系式本身就是一个恒等式,但也可以看作一个方程,当已知同角三角函数的商数关系式时,可以和同角三角函数的平方关系式组成方程组,通过解方程组达到解决问题的目的.2.对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中一个式子的值,可以求出其余两个式子的值,如:(sin+cos)2=1+2sincos;(sin-cos)2=1-2sincos;(sin+cos)2+(sin-cos)2=2.考点清单方法技巧栏目索引3.利用诱导公式求解问题的关键是先观察角,后看函数名.一般是先将负角化成正角,再化为0360的角,最后化成锐角求其函数值.在化简过程中牢记“奇变偶不变,符号看象限”的原则.考点清单方法技巧栏目索引例例2(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,11)若sinx+3cosx=-,则tanx=.解题导引解题导引考点清单方法技巧栏目索引考点清单方法技巧栏目索引解析解析解法一:由已知可得sinx=-3cosx-,两边平方可得sin2x=9cos2x+6cosx+10,因为sin2x+cos2x=1,所以10cos2x+6cosx+9=0,即(cosx+3)2=0,所以cosx=-,所以sinx=-,所以tanx=.解法二:等式两边平方可得sin2x+6sinxcosx+9cos2x=10,由于sin2x+cos2x=1,所以sin2x+6sinxcosx+9cos2x=10(sin2x+cos2x),即9sin2x-6sinxcosx+cos2x=0,两边同时除以cos2x,得9tan2x-6tanx+1=0,即(3tanx-1)2=0,考点清单方法技巧栏目索引解得tanx=.解法三:设3sinx-cosx=t,则10+t2=(sinx+3cosx)2+(3sinx-cosx)2=10,即10+t2=10,解得t=0,所以3sinx-cosx=0,化简得tanx=.解法四:因为sinx+3cosx=sin(x+)=-,其中cos=,sin=,所以sin(x+)=-1,所以x+=2k-,kZ,所以sinx=sin=-sin=-cos=-,kZ,考点清单方法技巧栏目索引cosx=cos=cos=-sin=-,kZ,所以tanx=.解法五:设sinx=X,cosx=Y,则X2+Y2=1,且X+3Y=-,则圆X2+Y2=1的圆心O(0,0)到直线X+3Y=-的距离d=1,即直线X+3Y=-与圆X2+Y2=1相切,其中切点为P(sinx,cosx),直线OP的斜率为3,即=3,所以tanx=.答案答案