2021高考数学【湖南卷(理)】解析版

2 0 2 1高考数学【湖南 卷(理)】解析版一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.满 足 二 =i(i为虚数单位)的复数z=()z1 1 .1 1 .1 1.1 1 .A.I i B.-1 C,-1 i D.-12 2 2 2 2 2 2 2【答案】B【解析】由题可 得 当=i n z +i =z i=z(l i)=T=z =-=L,故选B.z v -i 2 22 .对一个容量为N的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是0,0，死，则()A.p1=p2 p3 B.P 2 =P 3 Vp i C.pt=P3S =/(l)+g(l)=l.故选 C./+g =1 g(l)=-1、4 .(g x-2 y尸 的 展 开 式 中 的 系 数 是()A.-2 0 B.-5 C.5 D.2 0【答案】A【解析】第+1项展开式为C；则 =2 时，(2 y)=(=-2 0 x2/，故选 A.5.已知 命 题p:若x y,则一 x y,则Y 丁.在 命 题：0人与pvq A(-l 7)(p)v y时，两边乘以一1可 得 一x-y,所 以命题p为真命题，当x =l,y =-2时，因为x2 x =J(l+p)(l+q)l,故选D.9 .已知函数/(x)=s i n(x 0),且3)(x)公=0,则函数/(x)的图象的一条对称轴是()5万 兀 兀 兀A.x B.x=C.x=D.x=6 12 3 6【答案】AjrTT【解析】函数/(尤)的对称轴为1一 =耳+左 乃X =(p-+k7 l,2不T因为 J s i n(x夕 处=0 n-co soTT4 7 r 、冗所以夕=巴+2丘 或 竺+2版，则尤=也 是其中一条对称轴，故选A.3 3 610.已知函数f(x)=x2+e*-g(x e%I n (玉；+a)万=0、当玉)取决丁,负无穷小时,e I n (-x。+a)y =e*ln(x +a)g 在定义域内是单调递L趋近于-0。，因为函数2增 的所 以ea-ln(0+a)-0=I n a I n 五 n a psin0=x?cos-l n s in。一?）=-(可不化简)21 2.如 图3,已知AB,BC是 口0的两条弦，AO,8C,A8=6,8 C =2 0,则。的半径等于.【答案】:32【解 析】设 线 段A 0交B C于 点D延 长A 0交 圆 与 另 外 一 点E,则8D=)C=&，由 三 角 形ABD的勾股定理可得AO=L由双割线定理可得3BDTDC=AZXDE=DE=2,则直径 4E=3 n r=213.若关于x的不等式|cu 2|3的解集为x g x g ,则4=.【答案】-3【解析】由题可得!-a-23ci 3，故填3.-a-2 =33(-)必 做 题(1 4 1 6 题)yx14.若 变 量 满 足 约 束 条 件 k贝4左=_ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】-2【解析】求出约束条件中三条直线的交点为（左闺,（4 一&，（2,2）,且y x,x+y 攵=2,当（4 太人）为最优解时,2（4 左）+左=-6=左=1 4.因为左4 2,所以攵=2，故填-2.15.如 图 4,正方形ABCD和正方形。EFG 的边长分别为a,b（a 0）经过C,E两 点，则一=.a【答案】V2+1【解析】由题可得 e,一。，/仁+匕 力 训 卜a2-pab2-2 p(+b2故填加 +1.16.在平面直角坐标系中，。为原点，A（l,0）,8（0,G）,C（3,0）,动点。满足=夜 +1,b|丽|=1,则|西+而+丽|的最大值是【答案】+1【解 析】动 点。的 轨 迹 为 以 C 为 圆 心 的 单 位 圆，则 设 为（3+cosasin。e0,2万）.则=）8+2瓜 皿 6+。）0 且 s i n N C 4 Z 0,则由正余弦的关系可得s i n Z B A =V l-c o s2 ABAD=边 更 且 s i n AC AD=J l c o s?C A =变，再有正弦的和差1 4 7角公式可得 s i n A B A C=s i n(N B 4 O-A C A D)=s i n Z B A D c o s Z C A D-s i n Z C W c o s Z B A D1 9.如图6,四棱柱A B。48cA的所有棱长都相等，Acn3D=o,4an4A=a，四边形ACGA和四边形8。由均为矩形.(1)证明：O 0 J底面A 3 C D;(2)若N C B A =6 0。,求 二 面 角G。用一。的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)豆 豆1 9【解析】(1)证明:.四棱柱A B C。44Gq的所有棱长都相等四边形A B C。和 四 边 形 均 为 菱 形 ACnBO=O,4 G =。分别为8。方。中点四边形ACG4和四边形B D R B i为矩形O O J I CCHBB1 旦 CC AC,BB,B DS6/.O O i V B D,O OX L A C又;A C n 8。=O 目.A C,8 D =底面 A B C D。J底面 A B C D.(2)过。作80的垂线交片。于点E,连接E g,E Q .不妨设四棱柱A B C D-A B D,的边长为2 a0 0,，底面 A B C D 目.底面 A B C D/面 4gCQ00,J_面 AgGA又；0 三面AgGAo,c,i oo,.四边形481GA为菱形o,c,。4又.Q|G-LOO,R OO,0 0,=0,.0,0,0,B,三面 OBQ.O,c,，面 OBQ又面 O81OS.OIO.C,又g o _L o g 且&G n qE =。1，q q,。区 三面 qEG用0 _ 1 _面。O E：.N O g 为二面角COBD的平面角，则cos N O C=一EC1 ZCBA=60且四边形ABCD为菱形；.0 =a,BQ =6 a,OO、=2a,B0 =J BQ；+OOj=J ia,忸（by则 OE=80EMn NOiBQ=BQ再 由 的 勾 股 定 理 可 得EC,2而&则 cos ZO,EC,=空=-7 -=EQ 坂余弦值 为 第z.19【考点定位】线面垂直二面角解法2（向量法）=/3ay-j=-=aB 0#ia 7=后+0武哂/+/=停.二 名 巨，所以二面角a -。旦一。的 :：、I t_上决Jh IK :,四棱柱ABC。-A g C Q所有棱长都相等，四边形ABCD是菱形，又0。，面ABCD,，08,0（：,。01 两两垂直。如 图（b）,以。为坐标原点，0B,0C,。所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系。一 种，不妨设 A8=2,0（0,0,0）,B1（百,0,2）,C,（0,1,2）易 知，）=（0,0）是面8。2 g的一个法向量。设2=（工,y,2）是面。用。的一用去向量，则 一 .，即取z=-6，贝！|x =2,y=2V3,%3=0R=（2,2 6,-6），设二面角CO BD的大小为e,易知夕是锐角，.八4一1 水 1 一 展兀 _ 2A/3 _ 2 5 7 COS U COS I i i T-1 j 闻.闻晒 19故二面角CO BD的 余 弦 值 为。2 0.已知数列 an 满足 =1,|an+l-an|=p,ne N.（1）若%是递增数列，且,2/3%成等差数列，求的值；（2）若 =（,且%“_ 是递增数列，4 是递减数列，求数列”“的通项公式.-为奇数Lr 比r r 安J1,（1八）/?八=1 （，2、）、a3 3攵1n=O Ji j|/i+1-n|=p=a向 一 a“=p，分别令=1,2可得4-4 =p,a3-a2=p2=a2-i+p,ai-p2+p +1.因为q,2 4,3%成等差数歹！J,所以4 g =4 +3 q n4（l +p）=l +3（p 2+p +l）=3 p 2-p =0 =p 或0.当p =0时，数列4为常数数列不符合数列（是递增数列，所以p =；.由 题 可 得4|=|%,-。2,1|=击，|%+2-%/=击，因 为 他,“是递增数列且 。2.是递减数歹1 ，所以。2.+1一,1 0 且出,+2-4“3.+2%)。，两不等式相加可得 知+1 4-1 (4+2-4)n a2n a2n-2+2 一 2+1，又因为 一 2-J=*k+2 一 2+1|=击，所以 a2n。2,”。，即。2“一 2-1=同理可得+3 _42”+22”+1 _42 U4+3 一。2+2|4+1 一4 卜所以 2+1 一 2”=一万 57)则当刀=2 m(m w N*)时,%-%=/3 -齐，千%_%=齐这 21个等式相加可得44 1=1-z r.3 3H2一当=2 加+1 时，a2-ax1_ 1尹，。2,+1一%,=一 声，412 3 a21就，。4-。33 2 1 4 中 一 声 Z _ 11 ,3 3 a2m-14 44 1 4 14,+1=_ 彳 声，当加=0 5寸，4=1 符合，故 a2m_t=-32,-24 _ 1综上%J丁声4 113 -3-E-2Tr，为奇 数，为偶 数【考点定位】叠加法等差数列等比数列%2 v22 1.如图7,。为坐标原点，椭圆0：3+与=1（。0）的左、右焦点分别为月，凡，离心率为a bq；双曲线C2:*%=1的左、右焦点分别为玛,工，离心率为e?.己知e =，且I 玛巴 1=6 1.(i)求C，G的方程;(2)过耳作G的不垂直于y轴的弦A B的中点.当直线O M与G交于P，Q两点时，求四边形A P B Q面积的最小值.、y /【解析】(1 )因为e色,所 以a -b-c r+b=西，即 一/二 不,因 此=2/,从而居s,o),工(屏,0),于时a al 4y/3b-bF2F4|=V3-1,所以匕=1,=2.故C”G的方程分别为(2)因A 3不垂直于y轴，且过点耳(-1,0),故可设直线A B的方程为x=myx=my-x2 得，（/+2）y?=0+）2=11 2 .易知此方程的判别式大于0,设A(%,x),B(x2,y2),则%，当是上述方程的两个实根，所以因此为+%2=加(必+%)-2 =，于是A B的中点为-，Y-),故直线P。的斜加 一 +2 m+2 m+2率为一 ,P Q的方程为y =即 的+2 y =0.由，2得,(2-*)/=4,所 以2 0,且-=3=4,从而|PQ=2&+y2=2j.设点A到直线P。的距离为d,则点B到直线P。的距离也为P。，所以2,二|叫+2.|+|呼+2%1dm2+4因为点A8在 直 线 如+2 y =0的异侧，所以（加内+2 b）。%+2%）+2）,ly yJV m2+4又因为I y 必 1=J（X+4 y%=2 0 1 :“，所以m+2 2万，1+-2d=-1.-V m2+4故四边形A P B。的面积 2V2-V1 W r-I 3S=?=k=2 4+、而0 0,函数/（幻=1 1 1（1+办）-.x+2（1）讨论/（X）在区间（0,+8）上的单调性；（2）若/（幻 存在两个极值点玉,，且/（西）+求a的取值范围.【答案】（1）当时，/（x）在区间（0,+8）上单调递增.当0“-(l +or)(x+2)2(*)当时，/”（x）0,此时，/（x）在区间（0,+8）上单调递增.当0。1时，由_ f（x）=O得 玉=2/匕g，（/=一2/匕q舍去）.aa当xe（O,玉）时，f x）0 .故f（x）在区间（0,玉）上单调递减，在区间（川,+8）上单调递增.综上所述，当。之1时，/（x）在区间（0,+8）上单调递增.Ja,+）上单调递当0“0,此时/（x）不存在极值点，因而要使得/（幻 有两个极值点，必有0 V Q V 1.又/（%）的极值点只可能是玉=2且由定义可知,x 且xw-2,所以一2、且一2 1。一2,解得a w a a a a 2此时，由（*）式易知，%,马 分别是 幻 的极小值和极大值点，而2K 2 x/Ul)+/U2)=l n(