数学建模案例与方法教学课件第1章数学建模及数学建模竞赛

数学建模案例与方法数学建模案例与方法数学建模及数学建模竞赛数学建模及数学建模竞赛第 1 章数 学 建 模1.1大学生数学建模竞赛1.2目录CONTENTS1.1 数数 学学 建建 模模在大学教学中，数学建模既是一种用于培养大学生利用现有知识解决数学实际问题的手段，也是一个解决实际问题的重要策略。通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程即为数学建模。全国大学生数学建模竞赛既是全国高校中规模较大的课外科技活动之一，也是世界上建模竞赛规模最大的。数学建模大赛可以培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，同时也可以培养大学生的团结合作精神。1.1 数数 学学 建建 模模 数学模型与数学建模的基础知识 1.1.11.1.1原型和模型的概念原型和模型的概念1.原型（prototype）和模型（model）是一对对偶体。1.1 数数 学学 建建 模模1 1）建筑基线的布设形式）建筑基线的布设形式原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域里，原型通常使用系统（system）、过程（process）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等，本书所述的现实对象、研究对象和实际问题等均指原型。1.1 数数 学学 建建 模模2 2）模型）模型模型是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物。模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘成简洁的模仿品。通过这个模仿品，人们可以了解所研究实体的本质，而且在形式上便于对实体进行分析和处理。1.1 数数 学学 建建 模模模型一般是人们十分熟悉的事物，如玩具、照片及展览会里的电站模型、火箭模型等实物模型；地图、电路图、分子结构图等经过一定抽象的符号模型；大型水箱中的舰艇模型、风洞中的飞机模型等物理模型。每一个从客观世界中抽象出来的数学概念、数学分支，都是客观世界中某种具体事物的数学模型。例如，自然数1就是具体的1只羊、1头牛等的数学模型，而直线就是光线、木棍等的数学模型。1.1 数数 学学 建建 模模需要注意的是，一般人们构造模型是有一定的目的性的。模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次的特征。一个原型因为不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的，如展厅里的飞机模型（外形上逼真，但是不一定会飞）、航模竞赛的模型飞机（具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求）。在设计、试制飞机的过程中，设计、试制人员会用大的数学模型和计算机进行模拟（要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特征，绝不涉及飞机的实体）。1.1 数数 学学 建建 模模模型的分类模型的分类2.用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型和物理模型，后者包括思维模型、符号模型和数学模型。1.1 数数 学学 建建 模模1 1）物质模型）物质模型（1）直观模型。直观模型是指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真，这类模型的效果是一目了然的。（2）物理模型。物理模型是指科技工作者为了达到一定的目的，根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律，如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。使用这类模型时，应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟试验结果的可靠性。物理模型的优点是可以得到具有实用价值的结果，但存在着成本高、时间长、不灵活等缺点。1.1 数数 学学 建建 模模2 2）理想模型）理想模型（1）思维模型。思维模型是指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存于大脑中，从而可以根据思维或直觉做出相应的决策。通常所说的某些领导者凭经验做决策就是如此。思维模型易于被人们接受，通过它也可以在一定条件下获得满意的结果，但它往往具有模糊性、片面性、主观性和偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们之间的相互沟通。1.1 数数 学学 建建 模模（2）符号模型。符号模型是指在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描绘原型，如地图、电路图、化学结构式等。符号模型具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。（3）数学模型。数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，用于描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。1.1 数数 学学 建建 模模【例例1-11-1】1.1 数数 学学 建建 模模从例1-1中，我们可以看出建立数学模型的基本内容，具体有如下几点：根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设（例1-1中，假设航行中的船速和水速为常数）。用字母表示待求的未知量（例1-1中，x，y分别代表船速和水速）。利用相应的物理或其他规律（例1-1中，匀速运动的距离等于速度乘时间）列出数学式子（例1-1中，列出的二元一次方程）。求出数学上的解答（例1-1中，x=20，y=5）。利用解答解释原问题（例1-1中，船速和水速分别为20km/h和5km/h）。利用实际现象来验证上述结果。1.1 数数 学学 建建 模模综上所述，可以将数学模型描述为：对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律做出一些必需的简化假设，运用恰当的数学工具得到的一个数学结构。本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型是什么样子，而是要讨论建立数学模型的全过程。建立数学模型简称为数学建模或建模。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化来建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。1.1 数数 学学 建建 模模当应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。首先要通过调查和收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征及内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立反映实际问题的数量关系；然后利用数学的理论、方法去分析和解决问题。这就需要建立数学模型者具有深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和丰富的想象力，对解决实际问题具有浓厚的兴趣，同时要有广博的知识面。1.1 数数 学学 建建 模模为了满足科学技术发展的需要和培养高质量、高层次的科技人才，数学建模已经在大学教育中被逐步开展起来，国内外越来越多的大学已经开始了数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模的教学和竞赛作为高等院校的教学改革及培养高层次科技人才的重要方面。目前，我国的许多院校正在将数学建模与教学改革结合起来，努力探索更有效的数学建模的教学方法。1.1 数数 学学 建建 模模 数学建模的一般步骤 1.1.21.1.2下面先来看一个例子，通过这个例子来了解数学建模的一般步骤。1.1 数数 学学 建建 模模【例例1-21-2】1.1 数数 学学 建建 模模方法二：除地球引力外，对石头下落影响最大的便是空气阻力。根据流体力学的知识，此时可设空气阻力正比于石头下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得（1-1）式（1-1）中的K与手中的石头的形状有关，而石头的下落时间与所捡石头的形状无关（除非所捡的石头的形状太过特殊）。在式（1-1）的符号两边同时除以石头的质量m，并令k=K/m，则有（1-2）1.1 数数 学学 建建 模模1.1 数数 学学 建建 模模查资料确定空气的阻力系数，若设k=0.05，并仍设t=4s，则可求得h73.6m。由于考虑了空气阻力，这一结果应当比方法一得到的结果更接近实际高度。细心的读者一定会发现，还有一些问题需要考虑。1.1 数数 学学 建建 模模1.1 数数 学学 建建 模模问题2 听到回声后再按计算器，计算得到的时间中将包含反应时间。反应时间虽然不长，但石头落地时的速度已变得较大，所以对计算结果的影响仍然较大。如何解决这一问题呢？由于无法知道某次具体测量时的反应时间究竟有多长，因此只好用平均反应时间来代替反应时间。例如，t=4s，反应时间为0.1s，扣除反应时间后的时间为3.9s，代入式（1-6），求得h69.9m。1.1 数数 学学 建建 模模问题3 石头下落的时间并不是3.9s，因为3.9s里还包括了声音传回来所需要的时间（回声时间）。为此，令石头下落的真正时间为t1，声音传回来的时间为t2，还必须解一个方程组，即虽然已假定声音速度为340m/s，但由于这一方程组是非线性的，因而求解起来不太容易。例如，若h=69.9m，则t20.21s，故t13.69s，求得h62.3m，显然，最后的结果应当最接近山崖的实际高度。1.1 数数 学学 建建 模模从上面的例子可以看出，建立数学模型的过程大致可分为以下几个步骤：（1）了解问题的实际背景，明确建模目的，收集并掌握必要的数据资料。这一步骤可以看成为建立数学模型而做的前期准备工作。因为如果对实际问题没有较为深入的了解，就无从下手建模；而对实际问题的了解，有时还需要建模者对实际问题做一番深入细致的调查研究。1.1 数数 学学 建建 模模（2）在明确建模目的、掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼和简化，提出若干符合客观实际的假设。本步骤是建模的关键所在，因为其后的所有工作和结果都是建立在这些假设的基础之上的，也就是说，科学研究揭示的并非绝对真理，它揭示的是：假定提出的假设是正确的，人们可以推导出一些什么样的结果。1.1 数数 学学 建建 模模（3）在所做假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构，即建立数学模型。采用什么类型的数学结构和数学工具要根据实际问题的特征来确定，并无固定的模式。对同一个实际问题，可采用不同的数学方法建立不同的数学模型。一般来讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。（4）模型求解。为了得到结果，建模者还应对模型进行求解，根据模型的不同特点，求解可能包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等不同的方面，当难以得出解析解时，还应借助计算机来求出数值解。1.1 数数 学学 建建 模模（5）模型的分析与检验。假设是否正确或者是否基本可靠，建模者还应用求解得到的结果进行检验。建立数学模型的目的是认识世界、改造世界，建模的结果应当能解释已知现象，预测未来的结果，提供处理研究对象的最优决策或控制方案。实践是检验真理的唯一标准，只有经得起实践检验的结果才能被人们广泛接受。由此可见，模型求解并非建模的最终目的，只有在证明了建模结果能经得起实践检验时，建模者才能认为完成了自己预定的研究任务。1.1 数数 学学 建建 模模如果检验结果与事实不符，只要不是在求解中存在推导或计算上的错误，那就应该检查和分析在假设中是否有不合理或不够精确之处，发现后应修改假设重新进行建模，直到结果令人满意为止。综上所述，数学建模的过程大致可以概括为图1-1所示的流程。图1-1 数学建模的过程1.1 数数 学学 建建 模模 数学建模的意义 1.1.31.1.3作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里得几何、17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现和广泛普及，数学建模越来越受到人们的重视。我们可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义：1.1 数数 学学 建建 模模（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然它们的基本模型是已有的，但是由于新技术